Given a finite number of vectors in a real vector space, a conical combination, conical sum, or weighted sum of these vectors is a vector of the form
where are non-negative real numbers.
The name derives from the fact that a conical sum of vectors defines a cone (possibly in a lower-dimensional subspace).
The set of all conical combinations for a given set S is called the conical hull of S and denoted cone(S) or coni(S). That is,
By taking k = 0, it follows the zero vector (origin) belongs to all conical hulls (since the summation becomes an empty sum).
The conical hull of a set S is a convex set. In fact, it is the intersection of all convex cones containing S plus the origin. If S is a compact set (in particular, when it is a finite non-empty set of points), then the condition "plus the origin" is unnecessary.
If we discard the origin, we can divide all coefficients by their sum to see that a conical combination is a convex combination scaled by a positive factor.
Therefore, "conical combinations" and "conical hulls" are in fact "convex conical combinations" and "convex conical hulls" respectively. Moreover, the above remark about dividing the coefficients while discarding the origin implies that the conical combinations and hulls may be considered as convex combinations and convex hulls in the projective space.
While the convex hull of a compact set is also a compact set, this is not so for the conical hull; first of all, the latter one is unbounded. Moreover, it is not even necessarily a closed set: a counterexample is a sphere passing through the origin, with the conical hull being an open half-space plus the origin. However, if S is a non-empty convex compact set which does not contain the origin, then the convex conical hull of S is a closed set.
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STAY A LITTLE LONGER étudie les potentialités du bâti existant. Les outils de représentations du projet de transformation - Existant/Noir, Démolition/Jaune, Nouveau/Rouge -structureront l'exploration
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En géométrie vectorielle, une combinaison barycentrique ou combinaison affine de vecteurs est une combinaison linéaire dont la somme des coefficients est égale à 1. L’expression s’emploie par défaut pour une somme finie, mais parfois aussi pour la limite d’une série sous réserve de convergence. Les combinaisons barycentriques correspondent ainsi aux barycentres des vecteurs vus comme des points de l’espace affine associé, et l’ensemble de ces combinaisons barycentriques constitue le sous-espace affine engendré par ces points.
En géométrie, dans un espace affine , le sous-espace affine engendré par une partie non vide , également dénommé l'enveloppe affine de , est le plus petit sous-espace affine de contenant . Dans un espace affine, l'intersection d'une famille (non vide) de sous-espaces affines est soit l'ensemble vide, soit un sous-espace affine et l'espace lui-même est un sous-espace, ce qui justifie la définition suivante : Soient et des espaces affines et , deux parties non vides de et une partie non vide de .
En algèbre linéaire, un cône convexe est une partie d'un espace vectoriel sur un corps ordonné qui est stable par combinaisons linéaires à coefficients strictement positifs. droite|vignette|Exemple de cône convexe (en bleu clair). À l'intérieur de celui-ci se trouve le cône convexe rouge clair qui est composé des points avec, et étant les points représentés sur la figure. Les courbes en haut à droite indiquent que les régions se prolongent à l'infini.
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