Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Cône convexe
Résumé
En algèbre linéaire, un cône convexe est une partie d'un espace vectoriel sur un corps ordonné qui est stable par combinaisons linéaires à coefficients strictement positifs.
droite|vignette|Exemple de cône convexe (en bleu clair). À l'intérieur de celui-ci se trouve le cône convexe rouge clair qui est composé des points avec, et étant les points représentés sur la figure. Les courbes en haut à droite indiquent que les régions se prolongent à l'infini.
Soit un corps ordonné, comme le corps des rationnels , celui des réels algébriques ou (plus couramment) celui des réels .
Un sous-ensemble d'un -espace vectoriel est un cône convexe si appartient à , pour tous scalaires strictement positifs , et tous , dans , ce qui s'écrit de façon plus succincte : pour tous .
Cette définition équivaut à : C est à la fois un cône (c'est-à-dire que λC ⊂ C pour tout — pour démontrer ⇒, on écrit λx = (λ/2)x + (λ/2)x) et un convexe (c'est-à-dire qu'il est stable par combinaisons convexes).
Plus simplement, un cône C est convexe si et seulement si C + C ⊂ C.
L'ensemble vide et les sous-espaces vectoriels de V sont des cônes convexes.
Parmi d'autres exemples, on trouve :
l'orthant positif (resp. strictement positif ) dans et plus généralement, dans R, l'ensemble des fonctions qui sont positives (resp. strictement positives) sur une partie donnée de X ;
l'ensemble ;
le cornet ou cône du second ordre ou cône de Lorentz ;
les ensembles de matrices symétriques définies positives, semi-définies positives, copositives...
Pour tout convexe C de V, l'ensemble de tous les vecteurs λx tels que λ > 0 et x ∈ C est le plus petit cône convexe de V contenant C.
L'intersection de deux cônes convexes de V est un cône convexe, mais leur union peut être un cône non convexe.
La somme de deux cônes convexes de V est un cône convexe.
L' d'un cône convexe par une application linéaire est un cône convexe. En particulier, si C est un cône convexe, il en est de même pour −C ; et C ∩ −C est le plus grand sous-espace vectoriel inclus dans C.
Les cônes tangents à un convexe sont convexes.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Proximité ontologique