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Concept
Cône convexe
Résumé
En algèbre linéaire, un cône convexe est une partie d'un espace vectoriel sur un corps ordonné qui est stable par combinaisons linéaires à coefficients strictement positifs.
droite|vignette|Exemple de cône convexe (en bleu clair). À l'intérieur de celui-ci se trouve le cône convexe rouge clair qui est composé des points avec, et étant les points représentés sur la figure. Les courbes en haut à droite indiquent que les régions se prolongent à l'infini.
Soit un corps ordonné, comme le corps des rationnels , celui des réels algébriques ou (plus couramment) celui des réels .
Un sous-ensemble d'un -espace vectoriel est un cône convexe si appartient à , pour tous scalaires strictement positifs , et tous , dans , ce qui s'écrit de façon plus succincte : pour tous .
Cette définition équivaut à : C est à la fois un cône (c'est-à-dire que λC ⊂ C pour tout — pour démontrer ⇒, on écrit λx = (λ/2)x + (λ/2)x) et un convexe (c'est-à-dire qu'il est stable par combinaisons convexes).
Plus simplement, un cône C est convexe si et seulement si C + C ⊂ C.
L'ensemble vide et les sous-espaces vectoriels de V sont des cônes convexes.
Parmi d'autres exemples, on trouve :
l'orthant positif (resp. strictement positif ) dans et plus généralement, dans R, l'ensemble des fonctions qui sont positives (resp. strictement positives) sur une partie donnée de X ;
l'ensemble ;
le cornet ou cône du second ordre ou cône de Lorentz ;
les ensembles de matrices symétriques définies positives, semi-définies positives, copositives...
Pour tout convexe C de V, l'ensemble de tous les vecteurs λx tels que λ > 0 et x ∈ C est le plus petit cône convexe de V contenant C.
L'intersection de deux cônes convexes de V est un cône convexe, mais leur union peut être un cône non convexe.
La somme de deux cônes convexes de V est un cône convexe.
L' d'un cône convexe par une application linéaire est un cône convexe. En particulier, si C est un cône convexe, il en est de même pour −C ; et C ∩ −C est le plus grand sous-espace vectoriel inclus dans C.
Les cônes tangents à un convexe sont convexes.
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