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Concept
Logique mathématique
Résumé
La logique mathématique ou métamathématique est une discipline des mathématiques introduite à la fin du , qui s'est donné comme objet l'étude des mathématiques en tant que langage.
Les objets fondamentaux de la logique mathématique sont les formules représentant les énoncés mathématiques, les dérivations ou démonstrations formelles représentant les raisonnements mathématiques et les sémantiques ou modèles ou interprétations dans des structures qui donnent un « sens » mathématique générique aux formules (et parfois même aux démonstrations) comme certains invariants : par exemple l'interprétation des formules du calcul des prédicats permet de leur affecter une valeur de vérité'.
La logique mathématique est née à la fin du de la logique au sens philosophique du terme ; elle est l'une des pistes explorées par les mathématiciens de cette époque afin de résoudre la crise des fondements mathématiques provoquée par la complexification des mathématiques et l'apparition des paradoxes. Ses débuts sont marqués par la rencontre entre deux idées nouvelles :
la volonté chez Frege, Russell, Peano et Hilbert de donner une fondation axiomatique aux mathématiques ;
la découverte par George Boole de l'existence de structures algébriques permettant de définir un « calcul de vérité ».
La logique mathématique se fonde sur les premières tentatives de traitement formel des mathématiques, dues à Leibniz et Lambert (fin - début ). Leibniz a en particulier introduit une grande partie de la notation mathématique moderne (usage des quantificateurs, symbole d'intégration, etc.). Toutefois on ne peut parler de logique mathématique qu'à partir du milieu du , avec les travaux de George Boole (et dans une moindre mesure ceux d'Auguste De Morgan) qui introduit un calcul de vérité où les combinaisons logiques comme la conjonction, la disjonction et l'implication, sont des opérations analogues à l'addition ou la multiplication des entiers, mais portant sur les valeurs de vérité faux et vrai (ou 0 et 1) ; ces opérations booléennes se définissent au moyen de tables de vérité.
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