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Concept
Mécanique hamiltonienne
Résumé
La mécanique hamiltonienne est une reformulation de la mécanique newtonienne. Son formalisme a facilité l'élaboration théorique de la mécanique quantique.
Elle a été formulée par William Rowan Hamilton en 1833 à partir des équations de Lagrange, qui reformulaient déjà la mécanique classique en 1788.
En mécanique lagrangienne, les équations du mouvement d'un système à N degrés de liberté dépendent des coordonnées généralisées et des vitesses correspondantes , où .
Le lagrangien peut donc s'écrire formellement comme une fonction : , les variables indexées représentant les variables de ce type.
En mécanique hamiltonienne, le ou l' est relié à la coordonnée généralisée par :
où est le lagrangien et est une vitesse généralisée définie comme la dérivée par rapport au temps de .
En coordonnées cartésiennes, les moments conjugués sont équivalents aux quantités de mouvement, alors qu'en coordonnées polaires ils correspondent aux moments angulaires. Lorsque les coordonnées généralisées sont choisies arbitrairement, il n'est plus possible de donner une interprétation intuitive aux moments conjugués.
Le moment conjugué d'une masse ponctuelle en chute libre est :
où :
est la masse du corps ;
est la coordonnée suivant la verticale ascendante.
Le moment conjugué d'un pendule simple est :
où :
est la masse du pendule ;
est sa longueur ;
est sa vitesse angulaire : , où est l'angle que fait le pendule avec la verticale descendante.
Par extension, en théorie des champs, le moment conjugué est défini à partir de la dérivée fonctionnelle de la densité lagrangienne par rapport à la dérivée covariante du champ :
où la dérivée fonctionnelle est notée pour la différencier de la dérivée partielle usuelle.
L'hamiltonien est la transformée de Legendre du lagrangien :
Dans le membre de droite de cette formule, les vitesses sont supposées être exprimées en fonction des moments conjugués.
Si les équations qui définissent les coordonnées généralisées sont indépendantes du temps , on peut montrer que est égal à l'énergie totale , elle-même étant égale à la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle ().
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