Densité spectrale de puissance

On définit la densité spectrale de puissance (DSP en abrégé, Power Spectral Density ou PSD en anglais) comme étant le carré du module de la transformée de Fourier, divisé par le temps d'intégration, (ou, plus rigoureusement, la limite quand tend vers l'infini de l'espérance mathématique du carré du module de la transformée de Fourier du signal - on parle alors de densité spectrale de puissance moyenne). Ainsi, si est un signal et sa transformée de Fourier, la densité spectrale de puissance vautElle représente la répartition fréquentielle de la puissance d'un signal suivant les fréquences qui le composent (son unité est de la forme Ux2/Hz, où Ux représente l'unité physique du signal x, soit par exemple V2/Hz). Elle sert à caractériser les signaux aléatoires gaussiens stationnaires et ergodiques et se révèle indispensable à la quantification des bruits électroniques. Pour de plus amples détails sur la densité spectrale de puissance et la densité spectrale d'énergie (où l'on ne divise pas par le temps d'intégration et qui n'existe que pour les signaux de carré sommable), voir l'article densité spectrale. Calculer la densité spectrale de puissance à l'aide de l'autocorrélation permet d'accéder à une estimation parfaite de celle-ci, bien que le calcul de l'autocorrélation nécessite beaucoup de ressources. La définition de la fonction d'autocorrélation temporelle moyenne d’un signal x à temps continu est où est la conjugaison complexe. Prise au point , cette fonction mesure en quelque sorte la manière dont les structures que l'on peut voir dans un signal se répètent sur des échelles de temps de l’ordre de . Les propriétés de la transformée de Fourier impliquent que la densité spectrale est la transformée de Fourier de l'autocorrélation. C'est le théorème de Wiener–Khintchine, soit Par l'hypothèse d'ergodicité, on assimile l'autocovariance du signal (propriété statistique) à son autocorrélation (propriété temporelle). Cette hypothèse n'est pas forcément vérifiée en pratique, en particulier lorsque le processus étudié n'est pas stationnaire (pour quelques précisions, voir Processus continu et Processus stationnaire).