Processus stationnaire

Pour accéder aux propriétés essentielles d'un signal physique il peut être commode de le considérer comme une réalisation d'un processus aléatoire (voir quelques précisions dans Processus continu). Le problème est largement simplifié si le processus associé au signal peut être considéré comme un processus stationnaire, c'est-à-dire si ses propriétés statistiques caractérisées par des espérances mathématiques sont indépendantes du temps. Lorsque cette hypothèse est vraisemblable, le processus bâti autour du signal est rendu ergodique, les moyennes temporelles étant identiques aux moyennes d'ensemble. On trouvera ci-dessous quelques éléments qui précisent un peu ces notions. L'hypothèse stationnaire est admise dans de nombreux modèles théoriques, facile à réaliser dans des simulations numériques, beaucoup plus difficile voire impossible à justifier à propos d'un signal réel, faute de pouvoir accéder à d'autres réalisations du même processus. Il faut très généralement se contenter d'une justification grossière, utilisée par exemple dans l'analyse des enregistrements de vagues, qui consiste à dire qu'un enregistrement d'une vingtaine de minutes est assez court pour assurer la stationnarité (il est peu probable que les conditions météorologiques aient été modifiées) mais assez long pour qu'il fournisse des informations statistiques pertinentes. Pour un autre point de vue voir Stationnarité d'une série temporelle. Un processus est un ensemble de fonctions ordinaires , chacune d'elles étant une réalisation du processus. On peut caractériser ce processus en lui associant à chaque instant une densité de probabilité . À une réalisation donnée on peut associer les moyennes temporelles À la densité de probabilité on peut associer les moments appelés moyennes d'ensemble Si ces moyennes d'ensemble, et par conséquent la densité de probabilité, ne dépendent pas de l'instant , on parle de processus stationnaire. Si, de plus, les moyennes temporelles leur sont égales, il s'agit d'un processus ergodique.