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Concept
Lemme d'Itō
Résumé
Le lemme d'Itō, ou formule d'Itō, est l'un des principaux résultats de la théorie du calcul stochastique, qui permet d'exprimer la différentielle d'une fonction d'un processus stochastique au cours du temps. Ce lemme offre un moyen de manipuler le mouvement brownien ou les solutions d'équations différentielles stochastiques (EDS).
La formule d'Itō a été démontrée pour la première fois par le mathématicien japonais Kiyoshi Itō dans les années 1940.
Le mathématicien Wolfgang Doeblin avait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en . Ses travaux furent envoyés à l'Académie des sciences dans un pli cacheté qui ne fut ouvert qu'en 2000.
Soit un processus d'Itô processus stochastique de la forme
autrement formulé, on a
avec et deux processus aléatoires satisfaisant quelques hypothèses techniques d'adaptation au processus (mouvement brownien).
Si est une fonction de classe alors la formule d'Itô s'écrit
Soit une -semimartingale et . Alors est encore une semimartingale et ce qui suit est vrai
nous avons utilisé la notation . Si est continue, alors la somme disparaît.
Intégrale de Stratonovich#Formule d'Itô
Hans Föllmer a étendu la formule d'Itô aux fonctions (déterministes) avec une variation quadratique bornée.
Soit une fonction à valeurs réelles et une fonction càdlàg avec variation quadratique bornée. Alors
Le mouvement brownien géométrique est souvent utilisé en finance comme le plus simple modèle d'évolution de cours de bourse. Il s'agit de la solution de l'équation différentielle stochastique :
où
est le prix de l'action sous-jacente,
(constant) est le du prix de l'action,
(constante) est la volatilité du prix de l'action,
est un mouvement brownien.
Source officielle
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