Résumé
Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi bêta est une famille de lois de probabilités continues, définies sur , paramétrée par deux paramètres de forme, typiquement notés (alpha) et (bêta). C'est un cas spécial de la loi de Dirichlet, avec seulement deux paramètres. Admettant une grande variété de formes, elle permet de modéliser de nombreuses distributions à support fini. Elle est par exemple utilisée dans la méthode PERT. Fixons les deux paramètres de forme α, β > 0. La densité de probabilité de la loi bêta vaut 0 partout sauf sur [0, 1]. Pour tout , la fonction de densité vaut : La constante multiplicative permet à la densité de s'intégrer à l'unité. On note donc que α - 1 apparaît comme puissance de et β - 1 apparaît comme puissance de . Plus précisément, la constante vaut où Β est la fonction bêta. On rappelle que où Γ est la fonction gamma. Pour résumer on a : La fonction de répartition est où est la fonction bêta incomplète et est la fonction bêta incomplète régularisée. La fonction génératrice des moments est où F désigne la fonction hypergéométrique confluente, aussi notée . Sa fonction caractéristique est La densité de la loi bêta peut prendre différentes formes selon les valeurs des deux paramètres: est en forme de U (graphe rouge) ; ou est strictement décroissant (graphe bleu) ; est strictement convexe ; est une droite ; est strictement concave ; est la loi uniforme continue ; ou est strictement croissant (graphe vert) ; est strictement convexe ; est une droite ; est strictement concave ; est unimodal (graphes noir et violet). Qui plus est, si alors la densité est symétrique autour de 1/2 (graphes rouge et violet). La loi bêta peut se généraliser en : la loi bêta décentrée en introduisant un paramètre λ qui décale la moyenne ; la loi bêta rectangulaire en "mélangeant" une loi bêta et une loi uniforme continue ; la loi bêta prime en étendant son support en ]0,∞[ ; la loi de Dirichlet généralise la loi bêta en dimension supérieure. Soit la moyenne empirique et la variance empirique.
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Loi Gamma
En théorie des probabilités et en statistiques, une distribution Gamma ou loi Gamma est un type de loi de probabilité de variables aléatoires réelles positives. La famille des distributions Gamma inclut, entre autres, la loi du χ2 et les distributions exponentielles et la distribution d'Erlang. Une distribution Gamma est caractérisée par deux paramètres k et θ et qui affectent respectivement la forme et l'échelle de la représentation graphique de sa fonction de densité.
Conjugate prior
In Bayesian probability theory, if the posterior distribution is in the same probability distribution family as the prior probability distribution , the prior and posterior are then called conjugate distributions, and the prior is called a conjugate prior for the likelihood function . A conjugate prior is an algebraic convenience, giving a closed-form expression for the posterior; otherwise, numerical integration may be necessary. Further, conjugate priors may give intuition by more transparently showing how a likelihood function updates a prior distribution.
Loi bêta
Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi bêta est une famille de lois de probabilités continues, définies sur , paramétrée par deux paramètres de forme, typiquement notés (alpha) et (bêta). C'est un cas spécial de la loi de Dirichlet, avec seulement deux paramètres. Admettant une grande variété de formes, elle permet de modéliser de nombreuses distributions à support fini. Elle est par exemple utilisée dans la méthode PERT. Fixons les deux paramètres de forme α, β > 0.
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