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Concept
Loi bêta
Résumé
Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi bêta est une famille de lois de probabilités continues, définies sur , paramétrée par deux paramètres de forme, typiquement notés (alpha) et (bêta). C'est un cas spécial de la loi de Dirichlet, avec seulement deux paramètres.
Admettant une grande variété de formes, elle permet de modéliser de nombreuses distributions à support fini.
Elle est par exemple utilisée dans la méthode PERT.
Fixons les deux paramètres de forme α, β > 0. La densité de probabilité de la loi bêta vaut 0 partout sauf sur [0, 1]. Pour tout , la fonction de densité vaut :
La constante multiplicative permet à la densité de s'intégrer à l'unité. On note donc que α - 1 apparaît comme puissance de et β - 1 apparaît comme puissance de .
Plus précisément, la constante vaut où Β est la fonction bêta. On rappelle que où Γ est la fonction gamma. Pour résumer on a :
La fonction de répartition est
où est la fonction bêta incomplète et est la fonction bêta incomplète régularisée.
La fonction génératrice des moments est
où F désigne la fonction hypergéométrique confluente, aussi notée .
Sa fonction caractéristique est
La densité de la loi bêta peut prendre différentes formes selon les valeurs des deux paramètres:
est en forme de U (graphe rouge) ;
ou est strictement décroissant (graphe bleu) ;
est strictement convexe ;
est une droite ;
est strictement concave ;
est la loi uniforme continue ;
ou est strictement croissant (graphe vert) ;
est strictement convexe ;
est une droite ;
est strictement concave ;
est unimodal (graphes noir et violet).
Qui plus est, si alors la densité est symétrique autour de 1/2 (graphes rouge et violet).
La loi bêta peut se généraliser en :
la loi bêta décentrée en introduisant un paramètre λ qui décale la moyenne ;
la loi bêta rectangulaire en "mélangeant" une loi bêta et une loi uniforme continue ;
la loi bêta prime en étendant son support en ]0,∞[ ;
la loi de Dirichlet généralise la loi bêta en dimension supérieure.
Soit la moyenne empirique
et la variance empirique.
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