Loi Gamma

En théorie des probabilités et en statistiques, une distribution Gamma ou loi Gamma est un type de loi de probabilité de variables aléatoires réelles positives. La famille des distributions Gamma inclut, entre autres, la loi du χ2 et les distributions exponentielles et la distribution d'Erlang. Une distribution Gamma est caractérisée par deux paramètres k et θ et qui affectent respectivement la forme et l'échelle de la représentation graphique de sa fonction de densité. Les distributions Gamma sont utilisées pour modéliser une grande variété de phénomènes, et tout particulièrement les phénomènes se déroulant au cours du temps où par essence, le temps écoulé est une grandeur réelle positive ; c'est le cas par exemple dans l'analyse de survie. Soient k et θ deux réels strictement positifs. Une variable aléatoire X suit une loi Gamma de paramètres k et θ, ce que l'on note aussi (où Γ est la majuscule de la lettre grecque gamma) si sa fonction de densité de probabilité peut se mettre sous la forme : pour tout x > 0. Dans l'expression ci-dessus, Γ désigne la fonction Gamma d'Euler. Le paramètre k s'appelle le paramètre de forme, et le paramètre θ est un paramètre d'échelle. Alternativement, la distribution Gamma peut être paramétrée à l'aide d'un paramètre de forme α = k et d'un paramètre d'intensité (rate parameter) : Les deux paramétrages sont répandus, selon le contexte. On note la même notation et pour la loi pour les deux paramétrages. La notation est ambigüe, mais elle dépend du paramétrage choisi. La moyenne (espérance) d'une distribution gamma est le produit des paramètres de forme et d'échelle : La variance est donnée par : L'inverse de la racine carré du paramètre de forme donne le coefficient de variation : Le coefficient d'asymétrie d'une distribution gamma ne dépend que du paramètre de forme et vaut Pour tout n entier, le n-ième moment vaut : Si chaque X suit la loi Γ(k, θ) pour i = 1, 2, ..., N, et si les variables aléatoires X sont indépendantes, alors : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi gamma de paramètres de forme k et d'échelle θ.