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Concept
Puissance d'un point par rapport à un cercle
Résumé
En géométrie euclidienne du plan, la puissance d'un point M par rapport à un cercle de centre O et de rayon R est un nombre qui indique la position de M par rapport à ce cercle. Elle peut être définie comme P(M) = OM - R.
Il existe plusieurs résultats pour différentes formules de calcul de la puissance d'un point, selon la position du point par rapport au cercle. Ils reposent tous sur la construction de droites sécantes au cercle, passant par le point.
La puissance d'un point apparait dans la construction de plusieurs objets géométriques et la démonstration de leurs propriétés, comme l'axe radical de deux cercles, le centre radical de trois cercles ou la construction d'un diagramme de Laguerre.
Le mathématicien Edmond Laguerre a défini la puissance d'un point par rapport à toute courbe algébrique.
On peut remarquer que :
si M est à l’extérieur du cercle, × = MA × MB ;
si M est à l’intérieur du cercle, × = - MA × MB.
Lorsque le point M est à l'extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelant T le point de contact du cercle avec une de ces tangentes, la puissance de M est P(M) = MT (théorème de Pythagore).
L'égalité MA × MB = MT est suffisante pour affirmer que la droite (MT) est tangente au cercle.
La puissance d'un point permet de vérifier que quatre points sont cocycliques : en effet, si A, B, C, D sont quatre points tels que (AB) et (CD) se coupent en M et si × = × , alors les quatre points sont cocycliques.
Dans un repère orthonormé, le cercle Γ de centre O (a,b) et de rayon r a pour équation cartésienne (x - a) + (y - b) = r, qu'on peut réécrire sous la forme P(x , y) = x + y - 2ax - 2by +c = 0 avec c = a + b - r ; alors la puissance du point M (x , y) par rapport à ce cercle est P(M) = P(x , y) = (x - a) + (y - b) - r.
L'axe radical de deux cercles, de centres distincts, est l'ensemble des points ayant même puissance par rapport à ces deux cercles.
On considère deux cercles c(O, R) et c(O , R) avec O et O' distincts.
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