Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre

thumb|Figure 1 : L'angle AOB mesure le double de l'angle AMB et de l'angle ANB. thumb|Figure 2 : angle inscrit AMB obtus, angle au centre AOB rentrant. En géométrie euclidienne plane, plus précisément dans la géométrie du cercle, les théorèmes de l'angle inscrit et de l'angle au centre établissent des relations liant les angles inscrits et les angles au centre interceptant un même arc. Le théorème de l'angle au centre affirme que, dans un cercle, un angle au centre mesure le double d'un angle inscrit interceptant le même arc (figure 1 et 2, ). Le théorème de l'angle inscrit est une conséquence du précédent et affirme que deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont la même mesure (figure 1). Il existe deux versions de ces théorèmes, une concernant les angles géométriques et l'autre les angles orientés. Il existe donc deux situations, l'une où l'angle inscrit de sommet M est aigu, donc l'angle au centre de sommet O saillant (figure 1), l'autre où l'angle inscrit de sommet M est obtus, donc l'angle au centre de sommet O rentrant (figure 2). Le cas d'un angle inscrit dans un demi-cercle est le cas particulier pour lequel l'angle au centre est un angle plat, et donc l'angle inscrit est un angle droit. L'énoncé et la démonstration de la propriété sont beaucoup plus simples avec des angles orientés. thumb|left thumb|Les angles bleu et vert interceptent le même arc (rose) ; ils ont même mesure θ. L'angle brun intercepte l'arc noir, qui complète l'arc rose ; il est supplémentaire aux deux autres angles. Cette propriété est une conséquence immédiate du théorème de l'angle au centre ci-dessus. Les angles inscrits interceptent deux arcs complémentaires si leurs sommets sont de part et d'autre de la corde associée aux deux arcs. La propriété énoncée est encore une conséquence directe du théorème de l'angle au centre. Lorsque les arcs sont complémentaires, la somme des angles au centre donne un angle plein. Comme les angles inscrits valent moitié des angles au centre, la somme des angles inscrits donne un angle plat.