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Concept
Constructivisme (mathématiques)
Résumé
En philosophie des mathématiques, le constructivisme est une position vis-à-vis des mathématiques qui considère que l'on ne peut effectivement démontrer l'existence d'objets mathématiques qu'en donnant une construction de ceux-ci, une suite d'opérations mentales qui conduit à l'évidence de l'existence de ces objets. En particulier, les constructivistes ne considèrent pas que le raisonnement par l'absurde est universellement valide, une preuve d'existence par l'absurde (c-à-d une preuve où la non-existence entraîne une contradiction) ne conduisant pas en soi à une construction de l'objet.
Le constructivisme a conduit au développement de mathématiques constructives qui suivent ces préceptes. Ainsi l'analyse constructive, développée par , n'admet pas la propriété de la borne supérieure, car pour un constructiviste, un nombre réel est forcément engendré par une loi permettant de le calculer avec une précision arbitraire.
Le constructivisme est une position minoritaire chez les mathématiciens et les mathématiques constructives sont beaucoup moins développées que les mathématiques classiques. Le constructivisme mathématique est lié à l'intuitionnisme mathématique, sur lequel il se fonde. Il est par ailleurs possible de s'intéresser aux démonstrations constructives de certains résultats dans le cadre des mathématiques classiques.
Il existe plusieurs écoles constructivistes, qui s'entendent sur de nombreux points, en particulier leurs formalisations ont pour base commune la logique intuitionniste, mais peuvent diverger sur les constructions admises pour l'existence d'un objet. Par exemple le principe de Markov est admis par ce dernier et ses élèves, mais d'autres constructivistes comme Bishop le refusent.
L'intuitionnisme de Brouwer peut être considéré comme l'une des formes du constructivisme en mathématiques qu'il a d'ailleurs inspiré, mais il y tient une place assez particulière.
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