Topos (mathématiques) | EPFL Graph Search

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En mathématiques, un topos (au pluriel topos ou topoï) est un type particulier de catégorie. La théorie des topoï est polyvalente et est utilisée dans des domaines aussi variés que la logique, la topologie ou la géométrie algébrique. Un topos peut être défini comme une catégorie pourvue : de limites et colimites finies ; d'exponentielles ; d'un . D'autres définitions équivalentes sont données plus bas. La catégorie des graphes et morphismes de graphes Le topos des ensembles : la catégorie des ensembles et fonctions totales En théorie des catégories, un sous-objet d'un objet est définissable comme classe d'isomorphisme de monomorphismes par rapport à la relation de factorisation, . Tout topos est muni d'un classificateur de sous-objets, c'est-à-dire d'un objet tel que tout sous-objet d'un objet quelconque corresponde à un unique morphisme et que le diagramme suivant ait la propriété de produit fibré (1 étant l'objet terminal, qui doit exister suivant la définition). La catégorie des ensembles et fonctions possède le classificateur de sous-objets , d'où la nomenclature : toute propriété d'objets d'un ensemble définit un sous-objet et en même temps une fonction . Puisque tous les ensembles à deux éléments sont isomorphes à , le morphisme a la fonction d'indiquer lequel des éléments de joue le rôle de « vrai » ou « élément de S ». En effet, la théorie des topos peut servir de fondation pour l'interprétation d'un certain nombre de logiques. Depuis l'apparition en mathématiques des préfaisceaux dans les années 1940, l'étude d'un espace passe souvent par celle des préfaisceaux sur cet espace. L'idée fut formulée par Alexandre Grothendieck lorsqu'il introduisit la notion de topos. Le principal atout de cette notion réside dans l'abondance de situations en mathématiques où l'on a une indéniable intuition topologique, mais où fait défaut tout espace topologique digne de ce nom. Le plus grand succès de cette idée programmatique est à ce jour l'introduction du topos étale d'un schéma. Soit une catégorie.

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Subobject classifier

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