Objet exponentielEn mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories, un objet exponentiel est un équivalent catégorique à un espace fonctionnel en théorie des ensembles. Les catégories avec tous les produits finis et tous les objets exponentiels sont appelées catégories cartésiennes fermées. Un objet exponentiel peut aussi être appelé un objet puissance ou objet des morphismes. Soit C une catégorie avec produits et soient Y et Z des objets de C. L'objet exponentiel ZY peut être défini comme un morphisme universel du foncteur –×Y à Z.
Catégorie cartésienneUne catégorie cartésienne est, en mathématiques — et plus précisément en théorie des catégories — une catégorie munie d'un objet terminal et du produit binaire. Dans une catégorie cartésienne, la notion de morphisme entre morphismes n'a pas encore de sens. C'est pourquoi l'on définit l'exponentiation, c'est-à-dire l'objet B qui représente l'« ensemble » des morphismes de A dans B. Munie de cette propriété de clôture qu'est l'exponentiation, une catégorie cartésienne devient une catégorie cartésienne fermée.
Direct image functorIn mathematics, the direct image functor is a construction in sheaf theory that generalizes the global sections functor to the relative case. It is of fundamental importance in topology and algebraic geometry. Given a sheaf F defined on a topological space X and a continuous map f: X → Y, we can define a new sheaf f∗F on Y, called the direct image sheaf or the pushforward sheaf of F along f, such that the global sections of f∗F is given by the global sections of F.
Subobject classifierIn , a subobject classifier is a special object Ω of a category such that, intuitively, the subobjects of any object X in the category correspond to the morphisms from X to Ω. In typical examples, that morphism assigns "true" to the elements of the subobject and "false" to the other elements of X. Therefore, a subobject classifier is also known as a "truth value object" and the concept is widely used in the categorical description of logic. Note however that subobject classifiers are often much more complicated than the simple binary logic truth values {true, false}.
Catégorie de foncteursUne catégorie de foncteurs ou catégorie des foncteurs entre deux catégories est une catégorie dont les objets sont les foncteurs entre ces catégories, et les morphismes sont les transformations naturelles entre ces foncteurs. Soient et des catégories. On définit la catégorie de foncteurs de dans , notée , ou parfois ou : Les objets de sont les foncteurs de dans ; Les morphismes sont les transformations naturelles. Il existe, pour tout objet F, un morphisme correspondant à l'identité incarné par le foncteur .
Catégorie des espaces topologiquesEn mathématiques, la catégorie des espaces topologiques est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés générales observées dans l'étude des espaces topologiques. Ce n'est pas la seule catégorie qui possède les espaces topologiques comme objet, et ses propriétés générales sont trop faibles ; cela motive la recherche de « meilleures » catégories d'espaces. C'est un exemple de catégorie topologique.
Functor represented by a schemeIn algebraic geometry, a functor represented by a scheme X is a set-valued contravariant functor on the category of schemes such that the value of the functor at each scheme S is (up to natural bijections) the set of all morphisms . The scheme X is then said to represent the functor and that classify geometric objects over S given by F. The best known example is the Hilbert scheme of a scheme X (over some fixed base scheme), which, when it exists, represents a functor sending a scheme S to a flat family of closed subschemes of .
Préfaisceau (théorie des catégories)En théorie des catégories — une branche des mathématiques — la notion de préfaisceau généralise celle du même nom en géométrie algébrique. Les préfaisceaux y sont des objets particulièrement courants et donnent lieu à la notion de topos sur un site. Soient et des catégories, un préfaisceau de à valeurs dans est un foncteur : de la catégorie opposée à dans . De manière strictement équivalente, c'est un foncteur contravariant de dans .
Lemme de YonedaEn théorie des catégories, le lemme de Yoneda, attribué au mathématicien japonais Nobuo Yoneda, est un théorème de plongement d'une catégorie localement petite dans une catégorie de foncteurs : les objets de sont identifiés aux foncteurs représentables, et les morphismes de à toutes les transformations naturelles entre ces foncteurs. C'est une vaste généralisation du théorème de Cayley pour les groupes (vus comme des petites catégories à un seul objet).
Équivalence de catégoriesEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une équivalence de catégories est une relation qui établit que deux catégories sont "essentiellement les mêmes". C'est un foncteur entre les deux catégories, qui prend compte formellement du fait que ces catégories relèvent d'une même structure : on dit alors que les catégories sont équivalentes. À la différence de la notion d'isomorphisme de catégories, la notion d'équivalence est moins rigide, plus pratique et plus courante.
