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Concept
Forme linéaire
Résumé
En algèbre linéaire, une forme linéaire sur un espace vectoriel est une application linéaire sur son corps de base. En dimension finie, elle peut être représentée par une matrice ligne qui permet d’associer à son noyau une équation cartésienne. Dans le cadre du calcul tensoriel, une forme linéaire est aussi appelée covecteur, en lien avec l’action différente des matrices de changement de base.
L’ensemble de ces formes linéaires constitue aussi un espace vectoriel appelé espace dual, qui peut éventuellement être restreint au dual topologique des formes linéaires continues si l’espace source est un espace vectoriel topologique. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial en mathématiques, et en analyse, par exemple dans la théorie des distributions, ou dans l'étude des espaces de Hilbert.
Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif K. Une forme linéaire sur E (ou covecteur de E) est une application φ de E dans K qui est linéaire, c'est-à-dire qui vérifie :
L'application constante sur E de valeur 0 s'appelle la « forme linéaire nulle sur E ».
L'applicationest une forme linéaire sur R.
Plus généralement, les formes linéaires sur K sont les applications qui peuvent s'écrire sous la forme :où sont les composantes du vecteur . En particulier, les formes linéaires sur l'espace de matrices M(K) sont les applications qui peuvent s'écrire sous la forme φ(M) = Tr(MN), où Tr est l'application trace et N est une matrice fixée de M(K).
Sur l'espace des applications continues de [a, b] dans R, l'intégration est une forme linéaire.
Si L(Ω) est le C-espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes qui sont intégrables sur l'espace mesuré Ω, alors l'intégrale est une forme linéaire sur L(Ω). Cela signifie que
Toute évaluation d'une fonction. exemple : l'application qui à une fonction associe sa valeur en un point (φ(f)=f(2) par exemple) ou la valeur de sa dérivée en un point.
Toute combinaison des coordonnées du vecteur. Exemple : la fonction qui renvoie une coordonnée ou la trace d'une matrice.
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