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Concept

Forme linéaire

En algèbre linéaire, une forme linéaire sur un espace vectoriel est une application linéaire sur son corps de base. En dimension finie, elle peut être représentée par une matrice ligne qui permet d’associer à son noyau une équation cartésienne. Dans le cadre du calcul tensoriel, une forme linéaire est aussi appelée covecteur, en lien avec l’action différente des matrices de changement de base. L’ensemble de ces formes linéaires constitue aussi un espace vectoriel appelé espace dual, qui peut éventuellement être restreint au dual topologique des formes linéaires continues si l’espace source est un espace vectoriel topologique. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial en mathématiques, et en analyse, par exemple dans la théorie des distributions, ou dans l'étude des espaces de Hilbert. Définition Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif K. Une forme linéaire sur E (ou covecteur de E) est une application φ de

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Espace vectoriel

vignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w qu

Dual space

In mathematics, any vector space V has a corresponding dual vector space (or just dual space for short) consisting of all linear forms on V, together with the vector space

Espace de Hilbert

vignette|Une photographie de David Hilbert (1862 - 1943) qui a donné son nom aux espaces dont il est question dans cet article. En mathématiques, un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel (re

Many-body localization in a fragmented Hilbert space

Loïc Jean Pierre Herviou

We study many-body localization (MBL) in a pair-hopping model exhibiting strong fragmentation of the Hilbert space. We show that several Krylov subspaces have both ergodic statistics in the thermodynamic limit and a dimension that scales much slower than the full Hilbert space but still exponentially. Such a property allows us to study the MBL phase transition in systems including up to 64 spins. The different Krylov spaces that we consider show clear signatures of a many-body localization transition, both in the Kullback-Leibler divergence of the distribution of their level spacing ratio and their entanglement properties. However, they also present distinct scalings with the system size. Depending on the subspace, the critical disorder strength can be nearly independent of the system size or conversely show an approximately linear increase with the number of spins.

2021

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One-Shot Approach for Enforcing Piecewise Linearity on Hybrid Functionals: Application to Band Gap Predictions

Stefano Falletta, Alfredo Pasquarello, Jing Yang

We present an efficient procedure for constructing nonempirical hybrid functionals to accurately predict band gaps of extended systems. We determine mixing parameters by enforcing the generalized Koopmans’ condition on localized electron states, which are achieved by inserting an optimized potential probe. Application of this scheme to a large set of materials yields band gaps with a mean error of 0.30 eV with respect to experiment. Next, we consider a perturbative one-shot approach in which the single-particle eigenvalues are calculated with the wave functions obtained at the semilocal level. In this way, the computational cost is reduced by ∼85% without loss of accuracy. The scheme is found to be robust upon consideration of different defect species and functional forms.

2022

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Numerical Approximation of Flows in Random Porous Media

Francesco Tesei

The objective of this thesis is to develop efficient numerical schemes to successfully tackle problems arising from the study of groundwater flows in a porous saturated medium; we deal therefore with partial differential equations(PDE) having random coefficients and we are interested in computing statistics related to specific quantities of interest (QoI), e.g. a linear functional of the solution of the PDE or the solution itself. We mainly consider the approximation of the pressure in the medium through a stochastic Darcy problem with random lognormally distributed permeability relying on Matérn-type covariance functions to take into account a wide range of possible smoothness of the permeability field. Once the problem has been reformulated in terms of a countable number of random variables, we analyze sparse grid polynomial approximations of the QoI. We propose different strategies to exploit the anisotropicity of the QoI with respect to the different random entries; to this end we consider a priori'' and a posteriori'' strategies to drive the exploration of the multi-index set that defines the sparse grid, associating a profit to each multi-index either by using explicit theoretical estimates or by actually solving the PDE and computing on the fly the corresponding sparse grid interpolant. We show on several numerical examples the effectiveness of this strategy in treating the case of smooth permeability fields. In order to cover also the case of rough input permeabilities we consider, instead, Multi Level Monte Carlo techniques based on the use of a suitable control variate. Such a control variate is obtained from the solution of an auxiliary Darcy problem with a regularized input permeability which leads to pressure distributions that are smoother and less oscillatory than the original ones, but still highly correlated with them. We use then a sparse grid approximation to compute effectively the mean of the control variate and provide explicit bounds for the corresponding estimator as well as a complexity result. We also consider groundwater transport problems and focus, in particular, on arrival times properly defined starting from particle trajectories driven by the stochastic Darcy velocity and subject to molecular diffusion taking place at porous level. In this case, by using suitable PDEs whose solution can be linked to specific expectations (with respect to all Brownian motions) thanks to the famous Feynman-Kac formula, we compute statistics of such arrival times, e.g. their expected value or the probability of exiting the physical domain in a given time horizon. We discuss several scenarios and readapt the methodologies previously developed involving adaptive sparse grid stochastic collocation and Monte Carlo type schemes to this case.

EPFL2016

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MATH-302: Functional analysis I

Concepts de base de l'analyse fonctionnelle linéaire: opérateurs bornés, opérateurs compacts, théorie spectrale pour les opérateurs symétriques et compacts, le théorème de Hahn-Banach, les théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé.

MATH-110(a): Advanced linear algebra I

L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et de démontrer rigoureusement les résultats principaux de ce sujet.

PHYS-739: Conformal Field theory and Gravity

This course is an introduction to the non-perturbative bootstrap approach to Conformal Field Theory and to the Gauge/Gravity duality, emphasizing the fruitful interplay between these two ideas.