Analyse numérique

L’analyse numérique est une discipline à l'interface des mathématiques et de l'informatique. Elle s’intéresse tant aux fondements qu’à la mise en pratique des méthodes permettant de résoudre, par des calculs purement numériques, des problèmes d’analyse mathématique. Plus formellement, l’analyse numérique est l’étude des algorithmes permettant de résoudre numériquement par discrétisation les problèmes de mathématiques continues (distinguées des mathématiques discrètes). Cela signifie qu’elle s’occupe principalement de répondre de façon numérique à des questions à variable réelle ou complexe comme l’algèbre linéaire numérique sur les champs réels ou complexes, la recherche de solution numérique d’équations différentielles et d’autres problèmes liés survenant dans les sciences physiques et l’ingénierie. Branche des mathématiques appliquées, son développement est étroitement lié à celui des outils informatiques. Sa mise en œuvre pratique et ses domaines d’application sont décrits plus complètement dans l’article calcul numérique. vignette|Simulation numérique d'un crash de véhicule. Certains problèmes de mathématiques peuvent être résolus numériquement (c.-à-d., sur ordinateur) de façon exacte par un algorithme en un nombre fini d'opérations. Ces algorithmes sont parfois appelés méthodes directes ou qualifiés de finis. Des exemples sont l’élimination de Gauss-Jordan pour la résolution d’un système d’équations linéaires et l’algorithme du simplexe en optimisation linéaire. Cependant, aucune méthode directe n’est connue pour certains problèmes (de plus, pour une classe de problèmes dits NP-complets, aucun algorithme de calcul direct en temps polynomial n'est connu à ce jour). Dans de tels cas, il est parfois possible d’utiliser une méthode itérative pour tenter de déterminer une approximation de la solution. Une telle méthode démarre depuis une valeur devinée ou estimée grossièrement et trouve des approximations successives qui devraient converger vers la solution sous certaines conditions.