Differential graded algebraIn mathematics, in particular in homological algebra, a differential graded algebra is a graded associative algebra with an added chain complex structure that respects the algebra structure. TOC A differential graded algebra (or DG-algebra for short) A is a graded algebra equipped with a map which has either degree 1 (cochain complex convention) or degree −1 (chain complex convention) that satisfies two conditions: A more succinct way to state the same definition is to say that a DG-algebra is a monoid object in the .
Alternating algebraIn mathematics, an alternating algebra is a Z-graded algebra for which xy = (−1)^deg(x)deg(y)yx for all nonzero homogeneous elements x and y (i.e. it is an anticommutative algebra) and has the further property that x2 = 0 for every homogeneous element x of odd degree. The differential forms on a differentiable manifold form an alternating algebra. The exterior algebra is an alternating algebra. The cohomology ring of a topological space is an alternating algebra.
Tenseur (mathématiques)Les tenseurs sont des objets mathématiques issus de l'algèbre multilinéaire permettant de généraliser les scalaires et les vecteurs. On les rencontre notamment en analyse vectorielle et en géométrie différentielle fréquemment utilisés au sein de champs de tenseurs. Ils sont aussi utilisés en mécanique des milieux continus. Le présent article ne se consacre qu'aux tenseurs dans des espaces vectoriels de dimension finie, bien que des généralisations en dimension infinie et même pour des modules existent.
Alternating multilinear mapIn mathematics, more specifically in multilinear algebra, an alternating multilinear map is a multilinear map with all arguments belonging to the same vector space (for example, a bilinear form or a multilinear form) that is zero whenever any pair of arguments is equal. More generally, the vector space may be a module over a commutative ring. The notion of alternatization (or alternatisation) is used to derive an alternating multilinear map from any multilinear map with all arguments belonging to the same space.
Produit mixteEn géométrie, produit mixte est le nom que prend le déterminant dans un cadre euclidien orienté. Sa valeur absolue s'interprète comme le volume d'un parallélotope. Pour le produit mixte dans un espace euclidien orienté de dimension trois, voir l'article géométrie vectorielle. Soit E un espace euclidien orienté de dimension n. Soit B une base orthonormale directe de E. Le produit mixte de n vecteurs de E est défini par Il ne dépend pas de la base orthonormale directe B choisie.
Gram matrixIn linear algebra, the Gram matrix (or Gramian matrix, Gramian) of a set of vectors in an inner product space is the Hermitian matrix of inner products, whose entries are given by the inner product . If the vectors are the columns of matrix then the Gram matrix is in the general case that the vector coordinates are complex numbers, which simplifies to for the case that the vector coordinates are real numbers. An important application is to compute linear independence: a set of vectors are linearly independent if and only if the Gram determinant (the determinant of the Gram matrix) is non-zero.
PseudoscalaireEn physique, un pseudoscalaire est une grandeur physique représentée par un nombre, qui se présente donc comme un scalaire, mais qui change de signe lorsque le système physique subit une symétrie ou une inversion polaire. En physique, on parle aussi de particules pseudoscalaires, par abus de langage, puisqu'en réalité ce n'est que l'une des propriétés de la particule, telle que la charge, qui est une quantité pseudoscalaire. Le produit scalaire d'un vecteur et d'un pseudovecteur est un pseudoscalaire.
Filtered algebraIn mathematics, a filtered algebra is a generalization of the notion of a graded algebra. Examples appear in many branches of mathematics, especially in homological algebra and representation theory. A filtered algebra over the field is an algebra over that has an increasing sequence of subspaces of such that and that is compatible with the multiplication in the following sense: In general there is the following construction that produces a graded algebra out of a filtered algebra.
Coordonnées grassmanniennesLes coordonnées grassmanniennes sont une généralisation des coordonnées plückeriennes qui permettent de paramétrer les sous espaces de dimension de l'espace vectoriel par un élément de l'espace projectif de l'espace vectoriel des produits extérieurs des familles de vecteurs de . Le plongement plückerien est un plongement naturel de la variété grassmannienne dans l'espace projectif : Ce plongement est défini comme suit.
BialgèbreEn mathématiques, une bialgèbre ou bigèbre est un ensemble qui possède à la fois une structure d'algèbre et une structure de coalgèbre, et tel que ces deux structures soient compatibles entre elles. Les algèbres de Hopf sont en particulier des bigèbres. Si est un corps, une bialgèbre est un -espace vectoriel muni de quatre applications linéaires : un produit , une unité , un coproduit , une counité . telles que soit une algèbre et une coalgèbre, et qui vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes : et sont des morphismes d'algèbres.
