Concept

Tenseur (mathématiques)

Résumé

Les tenseurs sont des objets mathématiques issus de l'algèbre multilinéaire permettant de généraliser les scalaires et les vecteurs. On les rencontre notamment en analyse vectorielle et en géométrie différentielle fréquemment utilisés au sein de champs de tenseurs. Ils sont aussi utilisés en mécanique des milieux continus. Le présent article ne se consacre qu'aux tenseurs dans des espaces vectoriels de dimension finie, bien que des généralisations en dimension infinie et même pour des modules existent. Le principe est de généraliser les notions de scalaires et de vecteurs en dimension finie. Les tenseurs d'un type donné sont eux-mêmes membres d'un espace vectoriel : ils possèdent une addition et un produit par les scalaires ; ils sont indépendants d'un choix de base mais peuvent être représentés par des tableaux à plusieurs entrées pour un choix de base donnée. S'y ajoutent deux opérations : un produit, dit tensoriel, permettant de multiplier deux tenseurs (éventuellement de natures distinctes) ainsi qu'une application linéaire qui réduit leur ordre, appelée contraction. Comme évoqué ci-dessus les scalaires et les vecteurs constituent des exemples simples de tenseurs. Dans une base donnée, un vecteur (tenseur d'ordre 1) peut être représenté par la donnée d'un n-uplet de coordonnées. Les matrices n×n — qui peuvent représenter suivant les cas des endomorphismes, des bivecteurs ou encore des formes bilinéaires — forment une extension des n-uplets similaire à l'extension que représente les n-uplets par rapport aux scalaires. Les objets descriptibles par des matrices constituent donc les premiers types de tenseurs non triviaux, appelés tenseurs d'ordre 2. En prolongeant la réflexion on peut imaginer, toujours de manière informelle, des matrices cubiques n×n×n, correspondant aux tenseurs d'ordre 3, et ainsi de suite. center Les deux opérations classiques de la manipulation des tenseurs peuvent être intuitivement illustrées par certaines opérations matricielles.

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_(mathématiques)

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Tenseur (mathématiques)

Low-Rank Tensor Methods for High-Dimensional Problems

Rank-Adaptive Time Integration Of Tree Tensor Networks

STREAMING TENSOR TRAIN APPROXIMATION

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