Suite généralisée

En mathématiques, la notion de suite généralisée, ou suite de Moore-Smith, ou filet, étend celle de suite, en indexant les éléments d'une famille par des éléments d'un ensemble ordonné filtrant qui n'est plus nécessairement celui des entiers naturels. Pour tout ensemble X, une suite généralisée d'éléments de X est une famille d'éléments de X indexée par un ensemble ordonné filtrant A. Par filtrant (à droite), on entend que toute paire dans A possède un majorant dans A. Soit un filet dans un ensemble E et, pour tout , . L'ensemble est une base de filtre de E, appelé base du filtre élémentaire associé au filet . Réciproquement, soit un filtre sur un ensemble E, une base de , ordonnée par l'inclusion. Pour tout , soit . Le filet est dit associé à . Deux filets et sont dits équivalents (on précise parfois : AA équivalents, car d'autres types d'équivalences sont possibles et celui-ci est dû à Aarnes et Andenæes) si les filtres élémentaires qui leur sont associés sont identiques. En particulier, deux suites et dans E sont des filets équivalents si, et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées : (i) les ensembles de leurs valeurs ne diffèrent que par un nombre fini de points ; (ii) pour tout point , est fini si, et seulement si est fini. Par exemple, les suites (0,5,6,7,8,...) et (1,5,6,7,8,...) sont des filets équivalents. Il existe plusieurs notions de . On en détaille quelques-unes parmi les plus importantes : Un filet dans E est un « sous-filet au sens de Aarnes et Andenæes », ou « AA sous-filet », de , si le filtre élémentaire associé à y est plus fin que le filtre élémentaire associé à x. Cela revient à dire que pour tout , il existe tel que . Deux filets sont équivalents si, et seulement si chacun d'eux est un AA sous-filet de l'autre. Un filet dans E est un « sous-filet de Kelley » de s'il existe une fonction telle que pour tout , il existe tel que , et pour tout . Un filet dans E est un « sous-filet de Willard » de s'il existe une fonction croissante telle que pour tout , il existe vérifiant , et pour tout .