En mathématiques, les espaces vectoriels topologiques sont une des structures de base de l'analyse fonctionnelle. Ce sont des espaces munis d'une structure topologique associée à une structure d'espace vectoriel, avec des relations de compatibilité entre les deux structures.
Les exemples les plus simples d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces vectoriels normés, parmi lesquels figurent les espaces de Banach, en particulier les espaces de Hilbert.
Un espace vectoriel topologique (« e.v.t. ») est un espace vectoriel E sur un corps topologique K (généralement R ou C munis de leur topologie habituelle) muni d'une topologie compatible avec la structure d'espace vectoriel, c’est-à-dire vérifiant les conditions suivantes :
La somme de deux vecteurs est une application continue de E × E dans E ;
Le produit d'un scalaire par un vecteur est une application continue de K × E dans E.
La catégorie des espaces vectoriels topologiques sur un corps topologique K est notée TVSK ou TVectK où les objets sont les K-espaces vectoriels topologiques et les morphismes sont les applications K-linéaires continues.
Un e.v.t. E est en particulier un groupe topologique (pour l'addition). On en déduit deux critères de séparation : E est séparé si et seulement si le singleton réduit au vecteur nul 0 est fermé. Également, E est séparé si et seulement si l'intersection des voisinages de 0 est réduite à {0}.
Toute translation (par un vecteur quelconque de E) est un homéomorphisme de E dans E :la translation par x est continue, comme composée de l'addition par l'application qui à y associe (x, y), et sa réciproque est la translation par -x.
Toute homothétie de rapport non nul est aussi un homéomorphisme de E dans lui-même :l'homothétie de rapport k est continue, comme composée de la loi externe par l'application qui à y associe (k, y), et sa réciproque est l'homothétie de rapport 1/k.
Toute application linéaire d'un e.v.t. E dans un e.v.t. F qui est continue au point 0E est uniformément continue sur E.
Dans un e.v.t.
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En topologie, la continuité uniforme (ou l'uniforme continuité) est une propriété plus forte que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou plus généralement les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme n'est pas une notion « purement topologique » c'est-à-dire ne faisant intervenir que des ouverts : sa définition dépend de la distance ou de la structure uniforme. Le contexte typique de la définition de la continuité uniforme est celui des espaces métriques. N.
En mathématiques, la notion d'espace uniforme, introduite en 1937 par André Weil, est une généralisation de celle d'espace métrique. Une structure uniforme est une structure qui permet de définir la continuité uniforme. On peut y parvenir de deux manières différentes, l'une en généralisant la notion de distance, l'autre avec une axiomatique proche de celle des espaces topologiques. On montre que ces deux approches sont équivalentes. Un écart sur un ensemble est une application [0, +∞] telle que pour tout : (symétrie); (inégalité triangulaire).
En mathématiques, la topologie faible d'un espace vectoriel topologique E est une topologie définie sur E au moyen de son dual topologique E'. On définit également sur E' une topologie dite faible-* au moyen de E. Dans tout cet article, sauf mention contraire, on notera pour et forme linéaire sur . Soient E un espace vectoriel normé (réel ou complexe), ou plus généralement un espace vectoriel topologique et E' son dual topologique, c’est-à-dire l'ensemble des formes linéaires continues sur E.
Singular cohomology is defined by dualizing the singular chain complex for spaces. We will study its basic properties, see how it acquires a multiplicative structure and becomes a graded commutative a
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In metric spaces a distance is defined between each pair of points. In topological spaces, distances are replaced by only a certain notion of nearness. This abstract setting sheds new light upon basic
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We derive a covariance formula for the class of 'topological events' of smooth Gaussian fields on manifolds; these are events that depend only on the topology of the level sets of the field, for examp