En mathématiques, les espaces vectoriels topologiques sont une des structures de base de l'analyse fonctionnelle. Ce sont des espaces munis d'une structure topologique associée à une structure d'espace vectoriel, avec des relations de compatibilité entre les deux structures.
Les exemples les plus simples d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces vectoriels normés, parmi lesquels figurent les espaces de Banach, en particulier les espaces de Hilbert.
Un espace vectoriel topologique (« e.v.t. ») est un espace vectoriel E sur un corps topologique K (généralement R ou C munis de leur topologie habituelle) muni d'une topologie compatible avec la structure d'espace vectoriel, c’est-à-dire vérifiant les conditions suivantes :
La somme de deux vecteurs est une application continue de E × E dans E ;
Le produit d'un scalaire par un vecteur est une application continue de K × E dans E.
La catégorie des espaces vectoriels topologiques sur un corps topologique K est notée TVSK ou TVectK où les objets sont les K-espaces vectoriels topologiques et les morphismes sont les applications K-linéaires continues.
Un e.v.t. E est en particulier un groupe topologique (pour l'addition). On en déduit deux critères de séparation : E est séparé si et seulement si le singleton réduit au vecteur nul 0 est fermé. Également, E est séparé si et seulement si l'intersection des voisinages de 0 est réduite à {0}.
Toute translation (par un vecteur quelconque de E) est un homéomorphisme de E dans E :la translation par x est continue, comme composée de l'addition par l'application qui à y associe (x, y), et sa réciproque est la translation par -x.
Toute homothétie de rapport non nul est aussi un homéomorphisme de E dans lui-même :l'homothétie de rapport k est continue, comme composée de la loi externe par l'application qui à y associe (k, y), et sa réciproque est l'homothétie de rapport 1/k.
Toute application linéaire d'un e.v.t. E dans un e.v.t. F qui est continue au point 0E est uniformément continue sur E.
Dans un e.v.t.
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En mathématiques, la notion de suite généralisée, ou suite de Moore-Smith, ou filet, étend celle de suite, en indexant les éléments d'une famille par des éléments d'un ensemble ordonné filtrant qui n'est plus nécessairement celui des entiers naturels. Pour tout ensemble X, une suite généralisée d'éléments de X est une famille d'éléments de X indexée par un ensemble ordonné filtrant A. Par filtrant (à droite), on entend que toute paire dans A possède un majorant dans A. Soit un filet dans un ensemble E et, pour tout , .
En topologie, la continuité uniforme (ou l'uniforme continuité) est une propriété plus forte que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou plus généralement les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme n'est pas une notion « purement topologique » c'est-à-dire ne faisant intervenir que des ouverts : sa définition dépend de la distance ou de la structure uniforme. Le contexte typique de la définition de la continuité uniforme est celui des espaces métriques. N.
En mathématiques, la notion d'espace uniforme, introduite en 1937 par André Weil, est une généralisation de celle d'espace métrique. Une structure uniforme est une structure qui permet de définir la continuité uniforme. On peut y parvenir de deux manières différentes, l'une en généralisant la notion de distance, l'autre avec une axiomatique proche de celle des espaces topologiques. On montre que ces deux approches sont équivalentes. Un écart sur un ensemble est une application [0, +∞] telle que pour tout : (symétrie); (inégalité triangulaire).
In this thesis we study stability from several viewpoints. After covering the practical importance, the rich history and the ever-growing list of manifestations of stability, we study the following. (i) (Statistical identification of stable dynamical syste ...
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Kontsevich and Soibelman reformulated and slightly generalised the topological recursion of [43], seeing it as a quantisation of certain quadratic Lagrangians in T*V for some vector space V. KS topological recursion is a procedure which takes as initial da ...