En analyse fonctionnelle, un opérateur unitaire est un opérateur linéaire U d'un espace de Hilbert tel queUU = UU = Ioù U* est l'adjoint de U, et I l'opérateur identité. Cette propriété est équivalente à :
U est une application d' dense et
U préserve le produit scalaire ⟨ , ⟩. Autrement dit, pour tous vecteurs x et y de l'espace de Hilbert, ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩ (ce qui entraîne que U est linéaire).
D'après l'identité de polarisation, on peut remplacer « U préserve le produit scalaire » par « U préserve la norme » donc par « U est une isométrie qui fixe 0 ».
Le fait que U soit une isométrie assure qu'il est injectif et que son image est complète donc fermée donc (par densité) que U est surjectif.
La bijection réciproque U = U* est également un opérateur unitaire.
Par conséquent, les opérateurs unitaires apparaissent comme des isomorphismes de l'espace de Hilbert, c’est-à-dire qu'ils en préservent la structure algébrique et métrique.
La fonction identité est, de manière triviale, un opérateur unitaire.
Dans l'espace vectoriel C des nombres complexes, la multiplication par un nombre complexe de module 1 (c.a.d. un nombre de la forme eiθ pour θ ∈ R) est un opérateur unitaire. La valeur de θ modulo 2π n'affecte pas le résultat de la multiplication, et par conséquent les opérateurs unitaires de C sont paramétrés par un cercle. Le groupe correspondant, dont l'ensemble est le cercle unité, est noté U(1).
Plus généralement, les matrices unitaires sont très exactement les opérateurs unitaires pour les espaces de Hilbert de dimension finie ; par conséquent la notion d'opérateur unitaire est une généralisation de la notion de matrice unitaire. Les matrices orthogonales sont un cas particulier des matrices unitaires, pour lesquelles tous les coefficients sont réels. Ce sont les opérateurs unitaires de Rn.
L'opérateur de Fourier (c'est-à-dire l'opérateur qui effectue une transformation de Fourier) est un opérateur unitaire (avec une normalisation adéquate). C'est une conséquence du théorème de Parseval.
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vignette|Une photographie de David Hilbert (1862 - 1943) qui a donné son nom aux espaces dont il est question dans cet article. En mathématiques, un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel (resp. complexe) muni d'un produit scalaire euclidien (resp. hermitien), qui permet de mesurer des longueurs et des angles et de définir une orthogonalité. De plus, un espace de Hilbert est complet, ce qui permet d'y appliquer des techniques d'analyse. Ces espaces doivent leur nom au mathématicien allemand David Hilbert.
Un endomorphisme normal est un opérateur d'un espace de Hilbert qui commute avec son adjoint. Soient H un espace de Hilbert (réel ou complexe) et u un endomorphisme de H, d'adjoint u*. On dit que u est normal si Les endomorphismes autoadjoints sont normaux (cas u* = u). Les endomorphismes antiautoadjoints sont normaux (cas u* = –u). Les isométries vectorielles sont des endomorphismes normaux (cas u* = u).
En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, on désigne par théorème spectral plusieurs énoncés affirmant, pour certains endomorphismes, l'existence de décompositions privilégiées, utilisant en particulier l'existence de sous-espaces propres. vignette|Une illustration du théorème spectral dans le cas fini : un ellipsoïde possède (en général) trois axes de symétrie orthogonaux (notés ici x, y et z).