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Concept
Endomorphisme normal
Résumé
Un endomorphisme normal est un opérateur d'un espace de Hilbert qui commute avec son adjoint.
Soient H un espace de Hilbert (réel ou complexe) et u un endomorphisme de H, d'adjoint u*. On dit que u est normal si
Les endomorphismes autoadjoints sont normaux (cas u* = u).
Les endomorphismes antiautoadjoints sont normaux (cas u* = –u).
Les isométries vectorielles sont des endomorphismes normaux (cas u* = u).
Lorsque le Hilbert H est de dimension finie (autrement dit si c'est un espace euclidien ou un espace hermitien), u est normal si et seulement si sa matrice, dans une base orthonormée, est une matrice normale.
Lorsque H est un espace hermitien, un endomorphisme de H est normal (si et) seulement s'il est diagonalisable dans une base orthonormée.
Lorsque H est un espace euclidien, un endomorphisme de H est normal (si et) seulement s'il est somme directe orthogonale d'homothéties et de similitudes planes.
Lorsque H est de dimension finie, si un sous-espace vectoriel F est stable par un opérateur normal u alors son orthogonal l'est aussi (ou ce qui revient au même : F est stable par u*).
u est normal si et seulement si pour tout vecteur x de H, ║u(x)║ = ║u*(x)║.
Tout vecteur propre pour un opérateur normal u, pour une valeur propre λ, est aussi propre pour u*, pour la valeur propre .
Le rayon spectral d'un opérateur normal est égal à sa norme d'opérateur.
Un opérateur compact u sur un espace de Hilbert complexe H est normal (si et) seulement si H admet une base hilbertienne propre pour u.
Un opérateur compact u sur un espace de Hilbert réel H est normal (si et) seulement si u est somme hilbertienne d'homothéties et de similitudes planes.
Commentaires point par point :
vient du fait que dans une base orthonormée, la matrice de l'adjoint de u est la matrice adjointe de celle de u. Dans le cas euclidien, la matrice est réelle, donc sa matrice adjointe est sa matrice transposée.
se prouve par récurrence sur la dimension de H, en utilisant 6 : si λ est une valeur propre pour u alors H est somme directe du noyau de u-λidH et de son orthogonal, et u se restreint en un opérateur normal sur cet orthogonal.
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