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Concept
Endomorphisme normal
Résumé
Un endomorphisme normal est un opérateur d'un espace de Hilbert qui commute avec son adjoint.
Définition
Soient H un espace de Hilbert (réel ou complexe) et u un endomorphisme de H, d'adjoint u*. On dit que u est normal si
\ u\circ u^=u^\circ u.
Exemples
- Les endomorphismes autoadjoints sont normaux (cas u* = u).
- Les endomorphismes antiautoadjoints sont normaux (cas u* = –u).
- Les isométries vectorielles sont des endomorphismes normaux (cas u* = u).
Lorsque le Hilbert H est de dimension finie (autrement dit si c'est un espace euclidien ou un espace hermitien), u est normal si et seulement si sa matrice, dans une base orthonormée, est une matrice normale.
Lorsque H est un espace hermitien, un endomorphisme de H est normal (si et) seulement s'il est diagonalisable dans une base orthonormée.
Lorsque H est un espace euclidien, un endomorphisme de H est normal (si et) seulement s'il est somme directe orthogonale d'ho
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