Le groupe de Lorentz est le groupe mathématique constitué par l'ensemble des transformations de Lorentz de l'espace de Minkowski. Les formules mathématiques : des lois de la cinématique de la relativité restreinte ; des équations de champ de Maxwell dans la théorie de électromagnétisme ; de l'équation de Dirac dans la théorie de l'électron sont toutes invariantes sous les transformations de Lorentz. En conséquence, le groupe de Lorentz exprimerait la symétrie fondamentale de plusieurs lois de la nature. Le groupe de Lorentz propre et orthochrone ou restreint est un sous-groupe du groupe orthogonal qui réunit tous les automorphismes orthogonaux (applications linéaires bijectives) de l'espace vectoriel sous-jacent à l'espace de Minkowski. Il inclut deux types de symétries : les rotations statiques de l'espace ; les transformations spéciales de Lorentz. Ces transformations conservent non seulement la forme quadratique , forme de Lorentz de signature (1,3), mais aussi l'orientation ainsi que l'origine des repères de l'espace de Minkowski. En physique, il s'agit des changements de référentiels de la relativité restreinte qui envoient un repère inertiel sur un autre, tout en conservant leur orientation aussi bien spatiale que temporelle, ainsi que l'origine du repère d'espace-temps. Ces transformations sont dites linéaires, propres et orthochrones. File:Rotation de l'espace.svg|Rotations statiques de l'espace. ''Note : Il s'agit d'un pivotement d'angle \theta autour d'un axe passant par l'origine, et non d'un mouvement de rotation continu.'' File:Transformation spéciale de Lorentz.svg|Transformations spéciales de Lorentz (''boosts'' de Lorentz). ''Note : Les transformations étant linéaires, les origines des repères sont confondues à t=t'=0.'' Les transformations du groupe de Lorentz sont des changements linéaires de coordonnées entre référentiels inertiels, qui transforment un quadrivecteur en : Pour être compatibles avec les principes de la relativité restreinte, ces transformations doivent préserver l'intervalle d'espace-temps entre deux évènements.

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Groupe de Poincaré (transformations)
Le groupe de Poincaré ou symétrie de Poincaré est l'ensemble des isométries de l'espace-temps de Minkowski. Il a la propriété d'être un groupe de Lie non compact à 10 dimensions. Sa version complète inclut quatre types de symétrie : les translations (c'est-à-dire les déplacements) dans le temps et l'espace, formant le groupe de Lie abélien des translations sur l'espace-temps ; les rotations dans l'espace, qui forment le groupe de Lie non abélien des rotations tridimensionnelles ; les transformations de Lorentz propres et orthochrones, laissant inchangés le sens du temps et l'orientation de l'espace ; le renversement du temps T et la parité P (renversement des coordonnées d'espace), qui forment un groupe discret (Id ; T ; P ; PT).
Rotation vectorielle
Soit E un espace vectoriel euclidien. Une rotation vectorielle de E est un élément du groupe spécial orthogonal SO(E). Si on choisit une base orthonormée de E, sa matrice dans cette base est orthogonale directe. Matrice de rotation Dans le plan vectoriel euclidien orienté, une rotation vectorielle est simplement définie par son angle . Sa matrice dans une base orthonormée directe est : Autrement dit, un vecteur de composantes a pour image le vecteur de composantes que l'on peut calculer avec l'égalité matricielle : c'est-à-dire que l'on a : et Si par exemple et , désigne un des angles du triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5.
3D rotation group
In mechanics and geometry, the 3D rotation group, often denoted SO(3), is the group of all rotations about the origin of three-dimensional Euclidean space under the operation of composition. By definition, a rotation about the origin is a transformation that preserves the origin, Euclidean distance (so it is an isometry), and orientation (i.e., handedness of space). Composing two rotations results in another rotation, every rotation has a unique inverse rotation, and the identity map satisfies the definition of a rotation.
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