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Concept
Rotation vectorielle
Résumé
Soit E un espace vectoriel euclidien. Une rotation vectorielle de E est un élément du groupe spécial orthogonal SO(E). Si on choisit une base orthonormée de E, sa matrice dans cette base est orthogonale directe.
Matrice de rotation
Dans le plan vectoriel euclidien orienté, une rotation vectorielle est simplement définie par son angle . Sa matrice dans une base orthonormée directe est :
Autrement dit, un vecteur de composantes a pour image le vecteur de composantes que l'on peut calculer avec l'égalité matricielle :
c'est-à-dire que l'on a :
et
Si par exemple et , désigne un des angles du triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5. On peut multiplier les exemples fournissant des matrices à coefficients rationnels en utilisant à chaque fois un triplet pythagoricien.
Ceci peut être rapproché de la formule suivante, écrite avec des nombres complexes :
ou encore :
Lorsque est compris entre et et si le plan est orienté de façon usuelle, la rotation se fait dans le sens trigonométrique (ou « sens inverse des aiguilles d'une montre » ). On dit que la rotation est sénestre. Si est compris entre et , la rotation se fait dans le sens des aiguilles d'une montre. Elle est dite dextre.
La composée de deux rotations vectorielles est une rotation vectorielle dont l'angle est la somme des angles des deux rotations, ce qu'on traduit en disant que le groupe des rotations vectorielles est isomorphe au groupe .
Dans la construction axiomatique de la géométrie reposant sur l'algèbre linéaire, c'est la définition des rotations planes qui permet de définir la notion d'angle (voir aussi l'article Angle).
Matrice de rotation
Dans l'espace euclidien orienté de dimension 3, une rotation vectorielle est définie par :
un vecteur unitaire , qui détermine son axe : la droite des vecteurs invariants par cette rotation vectorielle est engendrée et orientée par ce vecteur ;
son angle , celui de la rotation vectorielle plane associée, restriction de cette rotation au plan orthogonal à l'axe.
L'orientation de ce plan est déterminée par le choix de l'orientation de l'axe.
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