Indice d'un sous-groupe

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, si H est un sous-groupe d'un groupe G, l'indice du sous-groupe H dans G est le nombre de copies distinctes de H que l'on obtient en multipliant à gauche par un élément de G, soit le nombre des xH quand x parcourt G (on peut choisir en fait indifféremment de multiplier à gauche ou à droite). Les classes xH formant une partition, et la multiplication à gauche dans un groupe par un élément donné étant bijective, le produit de l'indice du sous-groupe H dans G par l'ordre de H égale l'ordre de G, ce dont on déduit, pour un groupe fini, le théorème de Lagrange. Soient (G,•) un groupe et H un sous-groupe de G. La relation xy∈H est une relation d'équivalence (en x et y) dans G et les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de G de la forme xH, où x parcourt G. On appelle ces parties de G les classes à gauche (d'éléments de G) suivant H, ou encore modulo H. De même, la relation yx∈H est une relation d'équivalence dans G et les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de G de la forme Hx, où x parcourt G. On appelle ces parties de G les classes à droite (d'éléments de G) suivant H, ou encore modulo H. (Il est clair que les classes à gauche et les classes à droite d'éléments de G modulo H coïncident si G est commutatif. Plus généralement, elles coïncident si et seulement si H est un sous-groupe distingué de G.) L'application X↦X est une bijection de l'ensemble des classes à gauche sur l'ensemble des classes à droite, donc l'ensemble des classes à gauche et l'ensemble des classes à droite ont même cardinal. Ce cardinal est appelé l'indice de H dans G et noté (G:H), ou encore [G:H], ou encore |G:H|. L'indice de G dans lui-même est égal à 1. L'indice dans G du sous-groupe réduit à l'élément neutre est égal à l'ordre de G. Soit n un nombre naturel > 0 et considérons le sous-groupe nZ de Z. En raisonnant sur le reste euclidien, on montre que les classes d'éléments de Z modulo nZ sont exactement les classes de 0, 1, 2, ...