vignette|Un exemple de groupe fini est le groupe des transformations laissant invariant un flocon de neige (par exemple la symétrie par rapport à l'axe horizontal).
En mathématiques, un groupe fini est un groupe constitué d'un nombre fini d'éléments.
Soit G un groupe. On note en général sa loi multiplicativement et on désigne alors son élément neutre par 1. Toutefois, si G est abélien, la loi est souvent notée additivement et son élément neutre est alors désigné par 0 ; ce n'est cependant pas une règle générale : par exemple, le groupe multiplicatif d'un corps commutatif est noté multiplicativement, bien qu'il soit abélien.
On dit que G est un groupe fini lorsque l'ensemble G est fini. Le nombre d'éléments de G est alors noté |G| et est appelé ordre du groupe.
On supposera dans la suite que G est un groupe fini.
Soit . Comme G est fini, le principe des tiroirs de Dirichlet permet de montrer que l'ensemble est non vide. Il admet donc un plus petit élément, que l'on appelle l'ordre de . Il s'agit ici de l'ordre de l'élément , distinct de l'ordre du groupe G défini ci-dessus. Ces deux notions d'ordre sont liées, par exemple dans le cas des groupes cycliques décrits ci-dessous.
L'ordre d d'un élément g possède une propriété arithmétique très utile (qui provient directement de la division euclidienne) :
Un sous-ensemble S de G engendre ce groupe si tous les éléments de G s'écrivent comme un produit d'éléments ou d'inverses d'éléments de S. L'ensemble S est appelé une partie génératrice de G.
Comme G est fini, l'inverse d'un élément g est une puissance de g (plus précisément, on a g-1 = gd–1, où d désigne l'ordre de g). Il suit donc qu'un sous-ensemble S de G est une partie génératrice si et seulement si tout élément de G est un produit d'éléments de S.
Un groupe fini engendré par un singleton {g} est dit cyclique. Par abus de langage, on dit que l'élément g engendre G, et on note alors . Il est facile de vérifier qu'un tel groupe est nécessairement abélien. Remarquons que l'ordre d'un groupe fini cyclique est égal à l'ordre d'un de ses générateurs.
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Group representation theory studies the actions of groups on vector spaces. This allows the use of linear algebra to study certain group theoretical questions. In this course the groups in question wi
Explore les groupes et les nombres, en mettant l'accent sur le problème des sous-groupes cachés et ses complexités dans les algorithmes classiques et quantiques.
En mathématiques, un groupe résoluble est un groupe qui peut être construit à partir de groupes abéliens par une suite finie d'extensions. Théorème d'Abel (algèbre) La théorie des groupes tire son origine de la recherche de solutions générales (ou de leur absence) pour les racines des polynômes de degré 5 ou plus. Le concept de groupe résoluble provient d'une propriété partagée par les groupes d'automorphismes des polynômes dont les racines peuvent être exprimées en utilisant seulement un nombre fini d'opérations élémentaires (racine n-ième, addition, multiplication, ).
En théorie des groupes, les groupes nilpotents forment une certaine classe de groupes contenue dans celle des groupes résolubles et contenant celle des groupes abéliens. Les groupes nilpotents apparaissent dans la théorie de Galois et dans la classification des groupes de Lie ou des groupes algébriques linéaires. Soit G un groupe noté multiplicativement, d'élément neutre e. Si A et B sont deux sous-groupes de G, on note [A,B] le sous-groupe engendré par les commutateurs de la forme [x,y] pour x dans A et y dans B.
L'algèbre générale, ou algèbre abstraite, est la branche des mathématiques qui porte principalement sur l'étude des structures algébriques et de leurs relations. L'appellation algèbre générale s'oppose à celle d'algèbre élémentaire ; cette dernière enseigne le calcul algébrique, c'est-à-dire les règles de manipulation des formules et des expressions algébriques. Historiquement, les structures algébriques sont apparues dans différents domaines des mathématiques, et n'y ont pas été étudiées séparément.
In the standard framework of self-consistent many-body perturbation theory, the skeleton series for the self-energy is truncated at a finite order N and plugged into the Dyson equation, which is then solved for the propagator G(N). We consider two examples ...
In this text, we will show the existence of lattice packings in a family of dimensions by employing division algebras. This construction is a generalization of Venkatesh's lattice packing result Venkatesh (Int Math Res Notices 2013(7): 1628-1642, 2013). In ...
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