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Concept
Hypergraphe
Résumé
Les hypergraphes sont des objets mathématiques généralisant la notion de graphe.
Ils ont été nommés ainsi par Claude Berge dans les années 1960.
Les hypergraphes généralisent la notion de graphe non orienté dans le sens où les arêtes ne relient plus un ou deux sommets, mais un nombre quelconque de sommets (compris entre un et le nombre de sommets de l’hypergraphe).
Certains théorèmes de la théorie des graphes se généralisent naturellement aux hypergraphes, par exemple le théorème de Ramsey.
Les hypergraphes sont manipulés dans tous les domaines où on utilise la théorie des graphes : résolution de problèmes de satisfaction de contraintes, traitement d’images, optimisation d’architectures réseaux, modélisation, etc.
Un hypergraphe est un couple où est un ensemble non vide (généralement fini) et est une famille de parties non vides de .
À l'instar des graphes, on dit que :
Les éléments de sont les sommets de .
Le nombre de sommets est l'ordre de l'hypergraphe.
Les éléments de sont les arêtes de .
Les hypergraphes correspondent précisément aux matrices à coefficients 0 ou 1 (dont chaque colonne a au moins un 1). En effet, tout hypergraphe correspond de manière univoque à la matrice telle que :
Parmi les propriétés « nouvelles » des hypergraphes par rapport aux graphes figurent deux notions associées.
On appelle rang d'un hypergraphe le nombre maximum de sommets d'une arête : Le rang d'un hypergraphe est majoré par son ordre. Si , alors est un graphe.
On appelle anti-rang d'un hypergraphe le nombre minimum de sommets d'une arête :
Par définition d'un hypergraphe, les arêtes sont des parties non vides de l'ensemble des sommets de l'hypergraphe.
L'anti-rang d'un hypergraphe est donc non nul.
Un hypergraphe est dit uniforme lorsque son rang et son anti-rang sont égaux.
On parle aussi d' hypergraphe r-uniforme pour désigner un hypergraphe uniforme de rang .
vignette|L'hypergraphe du plan de Fano.
L'hypergraphe du plan de Fano a sept sommets appelés points {0,1,2,3,4,5,6} et sept arêtes appelées droites (013, 045, 026, 124, 346, 325, 516).
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