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Concept
Polytope
Résumé
Un polytope est un objet mathématique géométrique. Le terme de polytope a été inventé par Alicia Boole Stott, la fille du logicien George Boole.
Le terme polytope admet plusieurs définitions au sein des mathématiques. Principalement car les usages diffèrent en quelques points selon les pays, mais l'usage américain ayant tendance à s'imposer, on se retrouve confronté avec des usages contradictoires au sein d'un même pays. On retrouve ce genre de problème pour les définitions des faces et des facettes d'un polyèdre (pour un polyèdre de dimension n, Bourbaki définit les facettes comme les faces de dimension < n – 1, le suffixe faisant penser à la petitesse, alors que les américains définissent une facette comme une face de dimension n – 1, comme on dit en français d'ailleurs pour les facettes d'un diamant).
L'usage le plus répandu veut que, dans l'espace euclidien R, on distingue le polyèdre du polytope de la manière suivante.
Le polyèdre est une intersection d'un nombre fini de demi-espaces délimités par des hyperplans affines,
où et ,
tandis que le polytope est une enveloppe convexe,
où pour un certain nombre fini d'indices .
Un résultat fondamental établit que :
Ce résultat est essentiel pour l'approche polyédrique en optimisation combinatoire.
Toutefois on trouvera aussi la distinction suivante entre polytope et polyèdre.
On entend parfois en géométrie, polytope comme la généralisation à toutes dimensions de la notion de polygone pour deux dimensions et de polyèdre pour trois dimensions.
Quoi qu'il en soit, et borné. Le plus simple que l'on puisse construire est le simplexe constitué de sommets dans un espace de dimension n. Pour toute enveloppe convexe dans un espace de dimension n, on peut prendre des sous-ensembles de sommets linéairement indépendants et définir des n-simplexes à partir de ces sommets.
Il est toujours possible de décomposer un polytope convexe en simplexes de sorte que leur union soit le polytope original, et que leurs intersections deux à deux soient l'ensemble vide ou un s-simplexe (avec s < n).
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