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Concept
Dual d'un polyèdre
Résumé
En géométrie, il existe plusieurs façons (géométrique, combinatoire) de mettre les polyèdres en dualité : on peut se passer de support géométrique et définir une notion de dualité en termes purement combinatoires, qui s'étend d'ailleurs aux polyèdres et polytopes abstraits. Dans chaque cas, à tout polyèdre est associé un polyèdre appelé dual du premier, tel que :
le dual du polyèdre dual est le polyèdre initial,
les faces de l'un sont en correspondance avec les sommets de l'autre, en respectant les propriétés d'adjacence.
L'exemple le plus simple de dualité s'obtient pour les polyèdres réguliers convexes en reliant les centres des faces adjacentes (voir § Dualité des solides de Platon).
On peut aussi utiliser la construction dite de Dorman Luke indiquée plus loin.
Plus généralement, on définit une dualité en considérant l'opération de conjugaison par rapport à la sphère circonscrite.
Le dual d'un polyèdre convexe est aussi un polyèdre convexe.
Le dual d'un polyèdre non-convexe est aussi un polyèdre non-convexe. (contraposée)
Un polyèdre et son dual ont les mêmes symétries éventuelles (par rapport à un plan, une droite, un point).
vignette|200 px|Le tétraèdre est son propre dual.|alt=|centré
Le petit dodécaèdre étoilé est le dual du grand dodécaèdre, et le grand dodécaèdre étoilé est le dual du grand icosaèdre.(Voir l'article Solide de Kepler-Poinsot.)
Les duaux des solides d'Archimède sont les solides de Catalan.
Les duaux des prismes sont les diamants (ou bipyramides).Les duaux des antiprismes sont les antidiamants (ou trapézoèdres).
Pour un polyèdre uniforme, les faces du polyèdre dual peuvent être trouvées à partir des figures de sommets du polyèdre d'origine en utilisant la construction dite de Dorman Luke.
À titre d'exemple, l'illustration ci-dessous montre une figure de sommet (rouge) du cuboctaèdre utilisée pour obtenir une face (bleue) du dodécaèdre rhombique.
Source officielle
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