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Concept
Partie dense
Résumé
En topologie, une partie dense d'un espace topologique est un sous-ensemble permettant d'approcher tous les éléments de l'espace englobant. La notion s'oppose ainsi à celle de partie nulle part dense.
La densité d'une partie permet parfois d'étendre la démonstration d'une propriété ou la définition d'une application par continuité.
Soient X un espace topologique et A une partie de X.
On dit que A est « dense dans X », ou encore « partout dense »
si l'une des propriétés équivalentes est satisfaite :
tout ouvert non vide de X contient des éléments de A ;
l'adhérence de A est égale à X ;
tout point de X est adhérent à A ;
le complémentaire de A est d'intérieur vide.
Un point x de X est dit dense dans X si le singleton est dense dans X.
Un espace séparable est un espace topologique possédant un sous-ensemble dense au plus dénombrable.
Tout espace topologique est dense dans lui-même.
Toute partie dense pour l'ordre dans un ensemble totalement ordonné est aussi dense pour la topologie de l'ordre. En particulier, la droite réelle R admet comme parties denses l'ensemble Q des nombres rationnels, son complémentaire R\Q, mais aussi l'ensemble des décimaux et même l'ensemble des nombres dyadiques.
Le complémentaire d'un ensemble négligeable pour la mesure de Lebesgue est dense dans R ou dans R.
Le groupe général linéaire GL(R) (constitué des matrices réelles, carrées et inversibles de taille n) est dense dans l'espace M(R) des matrices carrées de taille n.
L'ensemble des matrices diagonalisables dans est dense, mais pas dans .
L'ensemble des fonctions étagées (définies sur un espace mesurable) est dense dans l'ensemble des fonctions mesurables, pour la topologie de la convergence simple.
L'ensemble des fonctions polynomiales est dense dans l'ensemble des fonctions réelles continues sur un segment pour la topologie de la convergence uniforme (selon le théorème d'approximation de Weierstrass).
Une condition suffisante pour cela est que tout élément de X soit limite d'une suite d'éléments de A.
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