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Concept
Axiomes des probabilités
Résumé
En théorie des probabilités, les axiomes de probabilités, également appelés axiomes de Kolmogorov du nom d'Andreï Nikolaievitch Kolmogorov qui les a développés, désignent les propriétés que doit vérifier une application afin de formaliser l'idée de probabilité.
Ces propriétés peuvent être résumées ainsi : si est une mesure sur un espace mesurable , alors doit être un espace de probabilité.
Le théorème de Cox fournit une autre approche pour formaliser les probabilités, privilégiée par certains bayésiens.
Dans ce qui suit, on considère un ensemble non vide
muni d'une tribu .
On appelle évènements les éléments de .
Pour tout événement :
C'est-à-dire que la probabilité d'un événement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.
désignant l'univers associé à l'expérience aléatoire considérée,
C'est-à-dire que la probabilité de l'événement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des événements élémentaires est égale à 1.
Toute famille dénombrable d'événements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), satisfait :
C'est-à-dire que la probabilité d'un événement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'événements est égale à la somme des probabilités de ces événements. Ceci s'appelle la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les événements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie en général).
À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :
Remarque : en particulier, cela interdit à l'univers d'être vide, le deuxième axiome exigeant que sa mesure vaille 1 (et ne soit donc pas nulle a fortiori).
Si , sont deux événements incompatibles (ou disjoints), alors
Plus généralement, si est une famille d'événements 2 à 2 incompatibles, alors
Cette relation signifie que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence .
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