Résumé
vignette|Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π. π (pi), appelé parfois constante d’Archimède, est un nombre représenté par la lettre grecque du même nom en minuscule (π). C’est le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. On peut également le définir comme le rapport de l'aire d'un disque au carré de son rayon. Sa valeur approchée par défaut à moins de 0,5×10 près est en écriture décimale. De nombreuses formules de physique, d’ingénierie et bien sûr de mathématiques impliquent π, qui est une des constantes les plus importantes de cette discipline. Le nombre π est irrationnel, c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. C’est même un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont π soit une racine. La détermination d’une valeur approchée suffisamment précise de π, et la compréhension de sa nature sont des enjeux qui ont traversé l’histoire des mathématiques ; la fascination exercée par ce nombre l’a même fait entrer dans la culture populaire. L’usage de la lettre grecque π, première lettre de , n’est apparu qu’au à l'initiative du mathématicien William Jones (et ensuite adopté et popularisé par Euler). Auparavant, sa valeur était désignée par diverses périphrases comme la « constante du cercle » ou son équivalent dans diverses langues. vignette|droite|On déduit d’une propriété analogue pour les polygones réguliers que l’aire d’un disque égale son demi-périmètre multiplié par son rayon. Dans les dictionnaires et ouvrages généralistes, π est défini comme le rapport, constant dans le plan usuel qu'est le plan euclidien, entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Ce rapport ne dépend pas du cercle choisi, en particulier de sa taille. En effet, tous les cercles sont semblables et pour passer d’un cercle à un autre il suffit de connaître le rapport de la similitude.
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