Elliptic geometry is an example of a geometry in which Euclid's parallel postulate does not hold. Instead, as in spherical geometry, there are no parallel lines since any two lines must intersect. However, unlike in spherical geometry, two lines are usually assumed to intersect at a single point (rather than two). Because of this, the elliptic geometry described in this article is sometimes referred to as single elliptic geometry whereas spherical geometry is sometimes referred to as double elliptic geometry.
The appearance of this geometry in the nineteenth century stimulated the development of non-Euclidean geometry generally, including hyperbolic geometry.
Elliptic geometry has a variety of properties that differ from those of classical Euclidean plane geometry. For example, the sum of the interior angles of any triangle is always greater than 180°.
In elliptic geometry, two lines perpendicular to a given line must intersect. In fact, the perpendiculars on one side all intersect at a single point called the absolute pole of that line. The perpendiculars on the other side also intersect at a point. However, unlike in spherical geometry, the poles on either side are the same. This is because there are no antipodal points in elliptic geometry. For example, this is achieved in the hyperspherical model (described below) by making the "points" in our geometry actually be pairs of opposite points on a sphere. The reason for doing this is that it allows elliptic geometry to satisfy the axiom that there is a unique line passing through any two points.
Every point corresponds to an absolute polar line of which it is the absolute pole. Any point on this polar line forms an absolute conjugate pair with the pole. Such a pair of points is orthogonal, and the distance between them is a quadrant.
The distance between a pair of points is proportional to the angle between their absolute polars.
As explained by H. S. M. Coxeter:
The name "elliptic" is possibly misleading. It does not imply any direct connection with the curve called an ellipse, but only a rather far-fetched analogy.
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This lecture is oriented towards the study of audio engineering, with a special focus on room acoustics applications. The learning outcomes will be the techniques for microphones and loudspeaker desig
Ce cours entend exposer les fondements de la géométrie à un triple titre :
1/ de technique mathématique essentielle au processus de conception du projet,
2/ d'objet privilégié des logiciels de concept
Organisé en deux parties, ce cours présente les bases théoriques et pratiques des systèmes d’information géographique, ne nécessitant pas de connaissances préalables en informatique. En suivant cette
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La géométrie est à l'origine la branche des mathématiques étudiant les figures du plan et de l'espace (géométrie euclidienne). Depuis la fin du , la géométrie étudie également les figures appartenant à d'autres types d'espaces (géométrie projective, géométrie non euclidienne ). Depuis le début du , certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : topologie, géométrie différentielle et géométrie algébrique.
Une géométrie elliptique est une géométrie non euclidienne. Les axiomes sont identiques à ceux de la géométrie euclidienne à l'exception de l'axiome des parallèles : en géométrie elliptique, étant donné une droite et un point extérieur à cette droite, il n'existe aucune droite parallèle à cette droite passant par ce point. Il est équivalent de dire que la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à .
En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée auparavant géométrie de Lobatchevski, lequel est le premier à en avoir publié une étude approfondie) est une géométrie non euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats d’Euclide, mais pour laquelle le cinquième postulat, qui équivaut à affirmer que par un point extérieur à une droite passe une et une seule droite qui lui est parallèle, est remplacé par le postulat selon lequel « par un point extérieur à une droite passent plusieurs droites parallèle
Explore l'influence de la complexité sur les propriétés ergonomiques des systèmes symboliques, présentant le théorème Curtis-Hedlund-Lyndon et les constructions de sous-postes minimaux.