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Concept
Factorisation aurifeuillienne
Résumé
En théorie des nombres, une factorisation aurifeuillienne, nommée d'après Léon-François-Antoine Aurifeuille, est un cas particulier de factorisation algébrique d'entiers provenant d'une factorisation (accidentelle) d'un polynôme cyclotomique.
Les polynômes cyclotomiques eux-mêmes sont irréductibles (dans ), mais il peut néanmoins arriver qu'on dispose de factorisations systématiques de leurs valeurs sur certains entiers. On appelle factorisation aurifeuillienne du polynôme cyclotomique P une formule de la forme (où b est un entier fixé, la base, et Q et R sont des polynômes non constants), valable pour tout n. Une telle factorisation provient en général de ce que le polynôme possède des facteurs autres que ceux donnés par les polynômes cyclotomiques (en 2004, Andrew Granville a démontré qu'avec une définition convenablement précisée, il n'en existait pas d'autres). Les exemples qui suivent illustrent ce phénomène.
Les nombres de la forme peuvent s'écrire :
De même, puisque , on a ; prenant b=x=3, on en déduit la factorisation aurifeuillienne
Les nombres de la forme ou , avec et sans facteur carré ont une factorisation aurifeuillienne si et seulement si l'une des deux conditions suivantes est remplie :
et
et .
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