En mathématiques, la factorisation consiste à écrire une expression algébrique (notamment une somme), un nombre, une matrice sous la forme d'un produit. Cette transformation peut se faire suivant différentes techniques détaillées ci-dessous.
Les enjeux de la factorisation sont très divers : à un niveau élémentaire, le but peut être de ramener la résolution d'une équation à celle d'une équation produit-nul, ou la simplification d'une écriture fractionnaire ; à un niveau intermédiaire, la difficulté algorithmique présumée de la factorisation des nombres entiers en produit de facteurs premiers est à la base de la fiabilité du cryptosystème RSA.
La factorisation d'une expression s'entend dans un domaine muni de deux lois opératoires ; typiquement, les nombres réels munis de l'addition et de la multiplication ; plus généralement, l'article se place dans le cadre d'un anneau commutatif. Une forme factorisée d'une expression est une forme où les dernières opérations en jeu sont toutes des multiplications.
Lorsqu'un élément apparaît en facteur dans au moins deux termes d'une somme, tous ces termes peuvent être remplacés globalement par un seul produit de l'élément commun avec la somme de ses différents facteurs. Ce procédé s'appuie sur la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.
Par définition même d'un anneau, si , et sont trois éléments d'un anneau, alors
Par exemple, avec des nombres entiers :
Identité remarquable
Diverses identités remarquables permettent de factoriser des expressions algébriques :
décomposition en produit de facteurs premiers
Le théorème fondamental de l'arithmétique indique que tout entier naturel supérieur ou égal à deux peut être factorisé en produit de nombres premiers. Cette décomposition en produit de facteurs premiers pour les entiers est la « meilleure » factorisation possible, qui permet d'effectuer de nombreux calculs : simplifications de fractions, détermination de PGCD, PPCM, racines, etc.
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thumb|right|Une équation cubique admet au plus trois solutions réelles. En mathématiques, une équation cubique est une équation polynomiale de degré 3, de la forme ax + bx + cx + d = 0 avec a non nul, où les coefficients a, b, c et d sont en général supposés réels ou complexes. Les équations cubiques étaient connues des anciens Babyloniens, Grecs, Chinois, Indiens et Égyptiens. On a trouvé des tablettes babyloniennes () avec, en écriture cunéiforme, des tables de calcul de cubes et de racines cubiques.
In algebra, a quartic function is a function of the form where a is nonzero, which is defined by a polynomial of degree four, called a quartic polynomial. A quartic equation, or equation of the fourth degree, is an equation that equates a quartic polynomial to zero, of the form where a ≠ 0. The derivative of a quartic function is a cubic function.
En mathématiques, la factorisation consiste à écrire une expression algébrique (notamment une somme), un nombre, une matrice sous la forme d'un produit. Cette transformation peut se faire suivant différentes techniques détaillées ci-dessous. Les enjeux de la factorisation sont très divers : à un niveau élémentaire, le but peut être de ramener la résolution d'une équation à celle d'une équation produit-nul, ou la simplification d'une écriture fractionnaire ; à un niveau intermédiaire, la difficulté algorithmique présumée de la factorisation des nombres entiers en produit de facteurs premiers est à la base de la fiabilité du cryptosystème RSA.
L'étudiant apprendra à résoudre numériquement divers problèmes mathématiques. Les propriétés théoriques de ces méthodes seront discutées.
Machine learning and data analysis are becoming increasingly central in many sciences and applications. This course concentrates on the theoretical underpinnings of machine learning.
Discrete mathematics is a discipline with applications to almost all areas of study. It provides a set of indispensable tools to computer science in particular. This course reviews (familiar) topics a
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In 1984, C.H. Bennet and G. Brassard proposed a new protocol aimed to solve the problem of symmetric cryptographic key exchange. This protocol was called BB84 after the name of its authors. While a tr
Since the late 70’s, several public key cryptographic algorithms have been proposed. Diffie and Hellman first came with this concept in 1976. Since that time, several other public key cryptosystems were
2006
D.J. Bernstein has proposed a circuit-based implementation of the matrix step of the number field sieve factorization algorithm (see "Circuits for integer factorization: a proposal", http://cr.yp.to/p