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Concept
Factorisation
Résumé
En mathématiques, la factorisation consiste à écrire une expression algébrique (notamment une somme), un nombre, une matrice sous la forme d'un produit. Cette transformation peut se faire suivant différentes techniques détaillées ci-dessous.
Les enjeux de la factorisation sont très divers : à un niveau élémentaire, le but peut être de ramener la résolution d'une équation à celle d'une équation produit-nul, ou la simplification d'une écriture fractionnaire ; à un niveau intermédiaire, la difficulté algorithmique présumée de la factorisation des nombres entiers en produit de facteurs premiers est à la base de la fiabilité du cryptosystème RSA.
La factorisation d'une expression s'entend dans un domaine muni de deux lois opératoires ; typiquement, les nombres réels munis de l'addition et de la multiplication ; plus généralement, l'article se place dans le cadre d'un anneau commutatif. Une forme factorisée d'une expression est une forme où les dernières opérations en jeu sont toutes des multiplications.
Lorsqu'un élément apparaît en facteur dans au moins deux termes d'une somme, tous ces termes peuvent être remplacés globalement par un seul produit de l'élément commun avec la somme de ses différents facteurs. Ce procédé s'appuie sur la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.
Par définition même d'un anneau, si , et sont trois éléments d'un anneau, alors
Par exemple, avec des nombres entiers :
Identité remarquable
Diverses identités remarquables permettent de factoriser des expressions algébriques :
décomposition en produit de facteurs premiers
Le théorème fondamental de l'arithmétique indique que tout entier naturel supérieur ou égal à deux peut être factorisé en produit de nombres premiers. Cette décomposition en produit de facteurs premiers pour les entiers est la « meilleure » factorisation possible, qui permet d'effectuer de nombreux calculs : simplifications de fractions, détermination de PGCD, PPCM, racines, etc.
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