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Concept
Conjecture de Poincaré
Résumé
La conjecture de Poincaré est une conjecture mathématique du domaine de la topologie algébrique portant sur la caractérisation d'une variété particulière, la sphère de dimension trois ; elle fut démontrée en 2003 par le Russe Grigori Perelman. On peut ainsi également l'appeler théorème de Perelman.
Elle faisait jusqu'alors partie des problèmes de Smale et des sept « problèmes du prix du millénaire » recensés et mis à prix en 2000 par l'Institut de mathématiques Clay. En 2006, cette démonstration a été validée par l'attribution d'une médaille Fields à Grigori Perelman (qui l'a refusée) ; de plus, en , l'institut Clay a officiellement décerné le prix correspondant à Perelman, prix qu'il a également refusé, en raison du refus de décerner également le prix à Richard S. Hamilton, dont le travail a servi de fondation au théorème de Perelman.
La question fut posée pour la première fois par Henri Poincaré dans son article de 1904, « Cinquième complément à l'Analysis Situs », et peut s'énoncer aujourd'hui ainsi :
Toute 3-variété compacte sans bord et simplement connexe est-elle homéomorphe à la 3-sphère ?
Dans sa formulation originale de 1904 :
(la terminologie signifiant aujourd'hui )
Poincaré ajouta en conclusion, avec beaucoup de clairvoyance : .
Plus vulgairement, il s'agit de déterminer si « un objet à trois dimensions » donné possédant les mêmes propriétés que celles d'une sphère 3D (dont notamment toutes les boucles peuvent être « resserrées » en un point) est bien seulement une déformation d'une sphère tridimensionnelle (la sphère ordinaire — surface dans l'espace ordinaire — possède seulement deux dimensions).
Aucune 3-variété sans bord autre que (l'espace ordinaire, non compact) ne peut être dessinée proprement comme objet dans l'espace ordinaire à trois dimensions. C'est l'une des raisons pour lesquelles il est difficile de visualiser mentalement le contenu de la conjecture.
Source officielle
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