Concept

Différentielle

Résumé

En analyse fonctionnelle et vectorielle, on appelle différentielle d'ordre 1 d'une fonction en un point (ou dérivée de cette fonction au point ) la partie linéaire de l'accroissement de cette fonction entre et lorsque tend vers 0. Elle généralise aux fonctions de plusieurs variables la notion de nombre dérivé d'une fonction d'une variable réelle, et permet ainsi d'étendre celle de développements limités. Cette différentielle n'existe pas toujours, et une fonction possédant une différentielle en un point est dite différentiable en ce point. On peut ensuite calculer des différentielles d'ordre supérieur à 1. On utilise la notation différentielle avec beaucoup d'efficacité dans le cadre du calcul d'approximations et du calcul de dérivées. Elle facilite la formule de la dérivée de la composée. Elle se révèle très pratique dans le changement de variable en calcul intégral. Dans l'approche de Leibniz, la différentielle d'une fonction est son « accroissement infinitésimal », qui s'écrit comme une combinaison des accroissements infinitésimaux des différentes variables. Ainsi pour une fonction des variables et , l'accroissement infinitésimal s'exprime sous la forme : où et sont les dérivées partielles de . Le calcul différentiel ainsi conçu, s'il était un outil de calcul efficace, manquait d'un fondement rigoureux, en particulier en ce qui concerne la notion de quantité infinitésimale. La notion moderne de différentielle est l'outil algébrique qui permet de passer des accroissements finis , des variables à l'accroissement de la fonction, en se limitant au premier ordre d'approximation. Mathématiquement, il n'est plus question de petite variation mais de calcul au premier ordre, dont la définition s'exprime sous forme d'une limite. Il convient cependant de ne pas négliger la puissance d'évocation et l'efficacité dans les calculs du point de vue original de Leibniz. C'est ce qui explique qu'il reste massivement utilisé, notamment par les physiciens ou les économistes.

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Différentielle

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Différentielle

Confronting false discoveries in single-cell differential expression

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