Fonction de plusieurs variables

En mathématiques et plus spécialement en analyse vectorielle, une fonction numérique à plusieurs variables réelles est une fonction dont l'ensemble de départ E est une partie du produit cartésien . L'ensemble d'arrivée F peut être ou . Le second cas peut se ramener au premier cas en considérant qu'il s'agit en réalité de p fonctions de dans appelées fonctions coordonnées. La fonction est donc une relation associant à chaque n-uplet x = (x, x, ..., x) élément de l'ensemble de départ un et un seul élément de l'ensemble d'arrivée, que l'on appelle de x par f et que l'on note f(x) ou f(x, ..., x) : Si l'on munit les deux espaces vectoriels et d'une norme, on peut étudier la continuité et la différentiabilité de telles fonctions. En fixant les n variables réelles (x, x, ..., x) sauf une, on se ramène à l'étude de fonctions d'une variable réelle, à valeurs dans (ou même dans , en considérant les p fonctions coordonnées). Leurs dérivées, lorsqu'elles existent, s'appellent les dérivées partielles de la fonction de départ. La notion de fonctions à plusieurs variables apparait très tôt en physique où l'on étudie souvent des quantités dépendant de plusieurs autres mais elle se développe considérablement à partir de la fin du . En 1667, James Gregory, dans son Vera circuli et hyperbolae quadratura en donne une des premières définitions formelles : « une fonction est une quantité obtenue à partir d'autres quantités par une succession d'opérations algébriques ou par n'importe quelle opération imaginable ». Le voit le développement du calcul infinitésimal et la recherche de solutions d'équations différentielles et d'équations aux dérivées partielles. Les fonctions à plusieurs variables sont alors manipulées autant que les fonctions à une seule variable. Il faut attendre la fin du et le pour voir s'établir avec plus de rigueur les calculs sur les dérivées partielles, notamment les dérivées secondes. L'étude des fonctions à plusieurs variables peut se classifier selon le nombre de variables de départ et d'arrivée.