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Concept
Coordonnées homogènes
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie projective, les coordonnées homogènes (ou coordonnées projectives), introduites par August Ferdinand Möbius, rendent les calculs possibles dans l'espace projectif, comme les coordonnées cartésiennes le font dans l'espace euclidien.
Les coordonnées homogènes sont largement utilisées en infographie et plus particulièrement pour la représentation de scènes en trois dimensions, car elles sont adaptées à la géométrie projective et elles permettent de caractériser les transformations de l'espace. La notation sous forme matricielle est plus particulièrement employée dans les bibliothèques de programmation graphique 3D telles que OpenGL et Direct3D.
Les coordonnées homogènes d'un point de l'espace projectif de dimension n sont écrites habituellement comme (x : y : z :... : w), un vecteur de longueur n+1, autre que (0 : 0 : 0 :... : 0). Deux ensembles de coordonnées qui sont proportionnels dénotent le même point d'espace projectif : pour tout scalaire non nul c pris du corps de base K, (cx : cy : cz :... : cw) est équivalent à (x, y, z, w). Ainsi, ce système de coordonnées introduit des classes d'équivalence constituées de vecteurs colinéaires. Prenant l'exemple de l'espace projectif de dimension trois, les coordonnées homogènes seront (x : y : z : w).
L'espace projectif construit permet de caractériser le plan à l'infini. Celui-ci est fréquemment défini par l'ensemble des points ou vecteurs ayant pour dernière coordonnée w = 0, appelés points à l'infini. Hors de ce plan, nous pouvons utiliser (x/w, y/w, z/w) comme un système cartésien ordinaire ; donc l'espace affine complémentaire au plan à l'infini est coordonné dans une forme familière, avec une base correspondant à (1 : 0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0 : 1), (0 : 0 : 1 : 1).
Par exemple, si on veut déterminer l'intersection de deux plans définis par les équations x = w et x = 2w (dont la partie affine correspond aux deux plans parallèles au plan Oyz d'équations x = 1 et x = 2), on vérifie aisément l'équivalence avec w = 0 et x = 0.
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