Coordonnées homogènes

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie projective, les coordonnées homogènes (ou coordonnées projectives), introduites par August Ferdinand Möbius, rendent les calculs possibles dans l'espace projectif, comme les coordonnées cartésiennes le font dans l'espace euclidien. Les coordonnées homogènes sont largement utilisées en infographie et plus particulièrement pour la représentation de scènes en trois dimensions, car elles sont adaptées à la géométrie projective et elles permettent de caractériser les transformations de l'espace. La notation sous forme matricielle est plus particulièrement employée dans les bibliothèques de programmation graphique 3D telles que OpenGL et Direct3D. Premières notations et interprétations Les coordonnées homogènes d'un point de l'espace projectif de dimension n sont écrites habituellement comme (x : y : z :… : w), un vecteur de longueur n+1, autre que (0 : 0 : 0 :… : 0). Deux ensembles de coordonnées qui sont proportionnels

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Unique decomposition of homogeneous languages and application to isothetic regions

Nicolas René Jean Ninin

A language is said to be homogeneous when all its words have the same length. Homogeneous languages thus form a monoid under concatenation. It becomes freely commutative under the simultaneous actions of every permutation group G(n) on the collection of homogeneous languages of length n is an element of N. One recovers the isothetic regions from (Haucourt 2017, to appear (online since October 2017)) by considering the alphabet of connected subsets of the space vertical bar G vertical bar, viz the geometric realization of a finite graph G. Factoring the geometric model of a conservative program amounts to parallelize it, and there exists an efficient factoring algorithm for isothetic regions. Yet, from the theoretical point of view, one wishes to go beyond the class of conservative programs, which implies relaxing the finiteness hypothesis on the graph G. Provided that the collections of n-dimensional isothetic regions over G (denoted by R-n vertical bar G vertical bar) are co -unital distributive lattices, the prime decomposition of isothetic regions is given by an algorithm which is, unfortunately, very inefficient. Nevertheless, if the collections R-n vertical bar G vertical bar satisfy the stronger property of being Boolean algebras, then the efficient factoring algorithm is available again. We relate the algebraic properties of the collections R-n vertical bar G vertical bar to the geometric properties of the space I GI. On the way, the algebraic structure R-n vertical bar G vertical bar is proven to be the universal tensor product, in the category of semilattices with zero, of n copies of the algebraic structure R-1 vertical bar G vertical bar.

2019

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Shape and deformation measurements of large objects by fringe projection

Anne-Isabelle Desmangles

The height and/or deformation of a surface of an object (10) defined in terms of x, y and z coordinates is measured by projecting a divergent beam of light 21) onto the surface to produce a periodic pattern of fringes (30. A CCD camera (40) views the surface from another angle and images the reflected light. Phase information is extracted from at least one image to produce an optical print (36) of the object containing phase information and image-coordinates information both being related to camera pixel position, the image-coordinates being associated with phase information corresponding to the object coordinates. A processor (50) calculates the object-coordinates of the surface points through mathematical functions describing x, y and z. These mathematical functions take account of the spatial configuration and specifications of the system which are established by calibration procedures involving eg. measurements of a theodolite (60) .

2004

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Homogeneous selections from hyperplanes

János Pach

Given d + 1 hyperplanes h(1),..., h(d+1) in general position in R-d, let Delta(h(1),..., h(d+1)) denote the unique bounded simplex enclosed by them. There exists a constant c(d) > 0 such that for any finite families H-1,..., Hd+1 of hyperplanes in R-d, there are subfamilies H-i* subset of H-i with vertical bar H-ivertical bar >= c(d)vertical bar H-i vertical bar and a point p is an element of R-d with the property that p is an element of Delta(h(1),..., h(d+1)) for all h(i) is an element of H-i. (C) 2013 Elsevier Inc. All rights reserved.

Academic Press Inc Elsevier Science2014

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Géométrie projective

En mathématiques, la géométrie projective est le domaine de la géométrie qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés inchangées des figures par projecti

Application projective

En mathématiques, une application projective est une application entre deux espaces projectifs qui préserve la structure projective, c'est-à-dire qui envoie les droites, plans, espaces… en des droites

Espace projectif

En mathématiques, un espace projectif est le résultat d'une construction fondamentale qui consiste à rendre homogène un espace vectoriel, autrement dit à raisonner indépendamment des proportionnalité

MATH-410: Riemann surfaces

This course is an introduction to the theory of Riemann surfaces. Riemann surfaces naturally appear is mathematics in many different ways: as a result of analytic continuation, as quotients of complex domains under discontinuous group actions, as algebraic curves.

ME-371: Discretization methods in fluids

Ce cours présente une introduction aux méthodes d'approximation utilisées pour la simulation numérique en mécanique des fluides. Les concepts fondamentaux sont présentés dans le cadre de la méthode des différences finies puis étendus à celles des éléments finis et spectraux.

PHYS-101(k): General physics : mechanics

Le but du cours de physique générale est de donner à l'étudiant.e les notions de base nécessaires à la compréhension des phénomènes physiques. L'objectif est atteint lorsque l'étudiant.e est capable de prévoir quantitativement les conséquences de ces phénomènes avec des outils théoriques appropriés.