Concept
Algèbre commutative
Concepts associés (54)
Idéal fractionnaire
vignette|Richard Dedekind donne en 1876 la définition d'idéal fractionnaire. En mathématiques, et plus précisément en théorie des anneaux, un idéal fractionnaire est une généralisation de la définition d'un idéal. Ce concept doit son origine à la théorie algébrique des nombres. Pour résoudre certaines équations diophantiennes, cette théorie utilise des anneaux d'entiers généralisant celui des entiers relatifs.
Extension algébrique
En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une extension algébrique L sur un corps K est une extension de corps dans laquelle tous les éléments sont algébriques sur K c’est-à-dire sont racines d'un polynôme non nul à coefficients dans K. Dans le cas contraire, l'extension est dite transcendante. Cette approche permet dans un premier temps de pallier les insuffisances de certains corps, par exemple celui des nombres réels quant aux solutions des équations polynomiales.
Théorème de Cohen-Seidenberg
En mathématiques, en théorie des anneaux, le théorème de Cohen-Seidenberg est un outil important permettant de manipuler des idéaux ou des chaînes d'idéaux dans les extensions d'anneaux. Il s'agit en fait de deux résultats, appelés théorèmes de montée et de descente (souvent en anglais : going-up et going-down), dus aux mathématiciens américains Irvin Cohen et qui les ont initialement établis en 1946 dans le cas commutatif, bien que leur application soit plus générale.
Semiprime ring
In ring theory, a branch of mathematics, semiprime ideals and semiprime rings are generalizations of prime ideals and prime rings. In commutative algebra, semiprime ideals are also called radical ideals and semiprime rings are the same as reduced rings. For example, in the ring of integers, the semiprime ideals are the zero ideal, along with those ideals of the form where n is a square-free integer. So, is a semiprime ideal of the integers (because 30 = 2 × 3 × 5, with no repeated prime factors), but is not (because 12 = 22 × 3, with a repeated prime factor).
Support of a module
In commutative algebra, the support of a module M over a commutative ring A is the set of all prime ideals of A such that (that is, the localization of M at is not equal to zero). It is denoted by . The support is, by definition, a subset of the spectrum of A. if and only if its support is empty. Let be a short exact sequence of A-modules. Then Note that this union may not be a disjoint union. If is a sum of submodules , then If is a finitely generated A-module, then is the set of all prime ideals containing the annihilator of M.
Algebra homomorphism
In mathematics, an algebra homomorphism is a homomorphism between two algebras. More precisely, if A and B are algebras over a field (or a ring) K, it is a function such that, for all k in K and x, y in A, one has The first two conditions say that F is a K-linear map, and the last condition says that F preserves the algebra multiplication. So, if the algebras are associative, F is a rng homomorphism, and, if the algebras are rings and F preserves the identity, it is a ring homomorphism.
Gorenstein ring
In commutative algebra, a Gorenstein local ring is a commutative Noetherian local ring R with finite injective dimension as an R-module. There are many equivalent conditions, some of them listed below, often saying that a Gorenstein ring is self-dual in some sense. Gorenstein rings were introduced by Grothendieck in his 1961 seminar (published in ). The name comes from a duality property of singular plane curves studied by (who was fond of claiming that he did not understand the definition of a Gorenstein ring).
Combinatoire algébrique
En mathématiques, la combinatoire algébrique est une discipline qui traite de l'étude des structures algébriques par des techniques algorithmiques et combinatoires, comme notamment illustré par les travaux de Marcel-Paul Schützenberger, Alain Lascoux, Dominique Foata, Richard Peter Stanley... L'intérêt de la combinatoire algébrique vient du fait que la plupart des structures en algèbre abstraite sont soit finies, soit engendrées par un ensemble fini d'éléments, ce qui rend possible leur manipulation de manière algorithmique.
Hilbert series and Hilbert polynomial
In commutative algebra, the Hilbert function, the Hilbert polynomial, and the Hilbert series of a graded commutative algebra finitely generated over a field are three strongly related notions which measure the growth of the dimension of the homogeneous components of the algebra. These notions have been extended to filtered algebras, and graded or filtered modules over these algebras, as well as to coherent sheaves over projective schemes.
Profondeur d'un module
En algèbre commutative, la profondeur d'un module est une mesure de la taille de son support. Soit M un module sur un anneau commutatif A. Un élément a de A est dit M-régulier si le seul vecteur x de M tel que ax = 0 est le vecteur nul. Les éléments A-réguliers sont donc exactement les éléments réguliers de A (éléments non diviseurs de 0). Une suite (ordonnée) d'éléments de A est appelée une suite M-régulière si pour tout i < n, est régulier pour le module .