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Concept
Extension algébrique
Résumé
En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une extension algébrique L sur un corps K est une extension de corps dans laquelle tous les éléments sont algébriques sur K c’est-à-dire sont racines d'un polynôme non nul à coefficients dans K. Dans le cas contraire, l'extension est dite transcendante.
Cette approche permet dans un premier temps de pallier les insuffisances de certains corps, par exemple celui des nombres réels quant aux solutions des équations polynomiales. Elle offre enfin une structure adaptée pour mieux comprendre la structure d'un corps. Les extensions algébriques sont le support des analyses qui permettent par exemple de résoudre les problèmes de l'Antiquité comme la duplication du cube, ou la résolution d'équations polynomiales par radicaux décrite dans le théorème d'Abel-Ruffini.
thumb|Ernst Kummer
La première formalisation de la notion d'extension algébrique provient d'une tentative par Ernst Kummer de démonstration du dernier théorème de Fermat. Un article de 1846 définit la notion de nombre idéal qui aboutira à la définition de Richard Dedekind du concept d'idéal en 1871. Kummer analyse les propriétés d'une extension algébrique engendrée par une racine de l'unité, ce qu'on appelle aujourd'hui « extension de Kummer ». La formalisation définitive est publiée en 1856. Cet outil permet par exemple de prouver le théorème de Fermat pour une certaine classe de nombres premiers, les nombres premiers réguliers, qui comprend tous les premiers impairs plus petits que 100, à l'exception de 37, 59 et 67.
Cette démarche consiste à définir des structures algébriques abstraites comme les groupes, les anneaux les corps commutatifs ou les espaces vectoriels. Elle s'inscrit dans un mouvement qui démarre avec les travaux d'Évariste Galois où est définie la première structure abstraite : celle des groupes. Ces travaux sont à l'origine de l'algèbre moderne. Les travaux de Kummer prennent tout leur sens comme complément de ceux de Galois, et une extension algébrique particulièrement importante est l'extension de Galois.
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