Problème de la clique | EPFL Graph Search

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thumb|upright=1.5|Recherche exhaustive d'une 4-clique dans ce graphe à 7 sommets en testant la complétude des C(7,4)= 35 sous-graphes à 4 sommets. En informatique, le problème de la clique est un problème algorithmique qui consiste à trouver des cliques (sous-ensembles de sommets tous adjacents deux à deux, également appelés sous-graphes complets) dans un graphe. Ce problème a plusieurs formulations différentes selon les cliques et les informations sur les cliques devant être trouvées. Les formulations courantes du problème de la clique incluent : la recherche d'une clique maximum (une clique avec le plus grand nombre possible de sommets) ; la recherche d'une clique de poids maximum dans un graphe pondéré ; la liste de toutes les cliques maximums ; la résolution du problème de décision consistant à déterminer si un graphe contient une clique plus grande qu'une taille donnée. Le problème de la clique apparaît dans la situation réelle suivante. Considérons un réseau social, où les sommets du graphe représentent des personnes et les arêtes représentent la connaissance mutuelle entre les personnes. Une clique représente alors un sous-ensemble de personnes qui se connaissent toutes mutuellement, et des algorithmes pour trouver des cliques peuvent être utilisés pour découvrir ces groupes d'amis communs. Outre ses applications aux réseaux sociaux, le problème de la clique a également de nombreuses applications en bioinformatique et en chimie numérique. La plupart des versions du problème de la clique sont des problèmes difficiles. Le problème décisionnel de la clique est NP-complet — c'est l'un des 21 problèmes NP-complets de Karp. Le problème de trouver une k-clique est à la fois intraitable à paramètre fixé (il n'est pas dans la classe de problèmes FPT) et est . Lister toutes les cliques maximums peut nécessiter un temps exponentiel car il existe des graphes avec un nombre de cliques maximums exponentiel en le nombre de sommets.

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Coloration de graphe

thumb|Une coloration du graphe de Petersen avec 3 couleurs. En théorie des graphes, la coloration de graphe consiste à attribuer une couleur à chacun de ses sommets de manière que deux sommets reliés par une arête soient de couleur différente. On cherche souvent à utiliser le nombre minimal de couleurs, appelé nombre chromatique. La coloration fractionnaire consiste à chercher non plus une mais plusieurs couleurs par sommet et en associant des coûts à chacune.

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