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Concept
Idéal premier
Résumé
En algèbre commutative, un idéal premier d'un anneau commutatif unitaire est un idéal tel que le quotient de l'anneau par cet idéal est un anneau intègre. Ce concept généralise la notion de nombre premier à des anneaux à la structure moins simple d'accès que l'anneau des entiers relatifs.
Ils jouent un rôle particulièrement important en théorie algébrique des nombres.
thumb|Richard Dedekind (1831-1916), formalisateur du concept d'idéal.
En 1801, dans ses Disquisitiones arithmeticae, Carl Friedrich Gauss développe des arithmétiques sur d'autres anneaux que celui des entiers relatifs. Il utilise particulièrement l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps commutatif et l'ensemble des entiers qui portent son nom.
Ces anneaux contiennent des éléments ayant les mêmes propriétés que ceux des nombres premiers, les polynômes irréductibles ou les nombres premiers de Gauss. Cette approche est particulièrement fructueuse, elle permet par exemple de démontrer beaucoup plus simplement le théorème des deux carrés de Fermat ou une conjecture particulièrement difficile pour l'époque la loi de réciprocité quadratique.
Cette approche est généralisée aux entiers algébriques. En 1847, Gabriel Lamé utilise une généralisation brutale et croit avoir démontré le grand théorème de Fermat. Ernst Kummer (1810-1893) montre que l'unicité mentionnée dans le théorème de décomposition en facteurs premiers n'est plus assurée. Il développe les nombres complexes idéaux pour retrouver une unicité à travers un nouveau concept.
Ce concept ayant pour objectif de pallier les insuffisances des propriétés des nombres, est formalisé par la notion d'idéal, à la suite des travaux de Richard Dedekind. Il existe plusieurs propriétés pour caractériser les différents idéaux. Dans les cas simples où l'anneau est principal, tout idéal correspond à un élément de l'anneau, et les idéaux premiers correspondent aux éléments de l'anneau qui sont « premiers » au sens où, comme les nombres premiers, ils vérifient le lemme d'Euclide : tout élément premier qui divise un produit divise l'un des deux facteurs.
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