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Concept
Produit (mathématiques)
Résumé
On nomme produit de nombres entiers, réels, complexes ou autres le résultat de leur multiplication. Les éléments multipliés s’appellent les facteurs du produit. L’expression d’un produit est aussi appelée « produit », par exemple l’écriture 3a du triple du nombre a est un produit de deux facteurs, où le symbole de la multiplication est sous-entendu.
L'ordre dans lequel les nombres réels ou les nombres complexes sont multipliés, de même que la façon de regrouper ces termes, n'ont pas d'importance ; ainsi, nulle permutation de termes ne modifie le résultat du produit. Ces propriétés sont nommées commutativité de la loi et associativité de la loi de multiplication.
Les multiplications d'objets comme les vecteurs et les matrices (produit matriciel, produit tensoriel, etc.) ne sont en revanche pas commutatifs.
Si trois paquets contiennent chacun cinq friandises, alors au total ils contiennent 3 × 5 friandises. Ce produit de trois par cinq est égal à une somme de trois termes égaux à cinq. Et trois fois cinq font quinze.
Dans l’expression française « une fraction d’une grandeur », la préposition « de » se traduit en mathématiques par un symbole de multiplication. Ce symbole est sous-entendu dans le produit f g qui représente la fraction f de la grandeur g. Produit qui vaut deux cinquièmes de trois cent soixante degrés si f = 2/5 et g = 360°
Imaginons un robot mobile, qui effectue des trajets rectilignes successifs de même longueur d. Ces trajets partiels sont représentés en géométrie plane par des segments égaux successifs. Supposons qu’entre deux trajets rectilignes, le robot à l’arrêt tourne à droite sur lui-même de 144°. Quand il a répété cinq fois la manœuvre suivante : avancer tout droit d’une longueur d puis tourner à droite sur lui‐même de 144°, il revient à son point de départ. Son parcours polygonal fermé est représenté par un pentagone régulier étoilé (symbole de Schläfli {5/2}), de périmètre 5d). Pendant tout son trajet fermé, le robot tourne dans le sens horaire autour du centre du polygone régulier, d’un angle de 5 × 144° = 720° = 2 × 360°.
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