Centralisateur

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, le centralisateur d'une partie X d'un groupe G est le sous-groupe de G formé par les éléments de G qui commutent avec tout élément de X. Soient G un groupe et x un élément de G. Le centralisateur de x dans G, noté CG(x) (ou C(x) si le contexte n'est pas ambigu) est, par définition, l'ensemble des éléments de G qui commutent avec x. Cet ensemble est un sous-groupe de G. La troisième des démonstrations ci-dessus montre en fait que CG(x) est le stabilisateur du point x relativement à l'action du groupe G sur lui-même par conjugaison. D'après la formule des classes, on peut donc énoncer : Soient G un groupe et x un élément de G. Le cardinal de l'ensemble des conjugués de x dans G est égal à l'indice de CG(x) dans G. Soient G un groupe et X une partie de G. Le centralisateur de X dans G, noté CG(X) (ou C(X) si le contexte n'est pas ambigu) est l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les éléments de X. Si X est un singleton {x}, CG(X) est égal au centralisateur CG(x) de x défini plus haut. Si X est une partie non vide de G, on peut parler de l'intersection et il est clair que cette intersection est égale à CG(X) ; donc CG(X) est une intersection de sous-groupes de G et est ainsi un sous-groupe de G. Si X est vide, CG(X) est G tout entier et est donc encore un sous-groupe de G. Le centralisateur de la partie G de G est le centre de G. Les premières propriétés du centralisateur d'une partie d'un groupe G sont des cas particuliers des propriétés du commutant d'une partie d'un magma : Si X et Y sont des parties de G, dire que X est contenu dans CG(Y) revient à dire que Y est contenu dans CG(X), car chacune de ces conditions revient à dire que tout élément de X commute avec tout élément de Y. En particulier, une partie X de G est contenue dans CG(X) si et seulement si tous les éléments de X commutent entre eux. Si X et Y sont des parties de G et si X est contenue dans Y, alors CG(Y) est contenu dans CG(X). Toute partie X de G est incluse dans son bicommutant CG(CG(X)).