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Concept
Fonction implicite
Résumé
En mathématiques, une équation entre différentes variables où une variable n'est pas explicitée en fonction des autres est appelée une équation implicite. Une fonction implicite est une fonction qui se déduit implicitement d'une telle équation.
Plus précisément si f est une fonction de E × F dans G, où E, F et G sont des espaces vectoriels normés ou plus simplement des intervalles de R, l'équation f(x,y) = 0 définit une fonction implicite si l'on peut exprimer une des variables en fonction de l'autre pour tous les couples (x,y) vérifiant l'équation.
Ou encore, l'équation f(x,y) = 0 définit une fonction implicite de E vers F, s'il existe une fonction φ dite explicite telle que , pour tout (x,y) de E × F, f(x,y) = 0 équivaut à y = φ(x). Cela revient à dire que le graphe de la relation binaire : x R y ssi f(x,y) = 0 est le graphe d'une fonction.
Il est parfois possible de prouver l'existence locale d'une fonction implicite pour une équation touchant deux variables réelles, sans l'exhiber explicitement, les conditions suffisantes d'existence et d'unicité d'une telle fonction sont détaillées dans l'article : théorème des fonctions implicites.
Considérons l'équation . Les points de dont les coordonnées vérifient cette équation forment une courbe qui passe par le point . Est-ce que possède une tangente en ce point? Si oui, comment la trouver ? C'est ce genre de problèmes auxquels on s'intéresse.
L'équation est associée à la lemniscate de Bernoulli.
l'équation x + y = 1 ne définit pas de fonction implicite pour y quelconque, mais pour y positif, cette équation est équivalente à y = et φ : x → est la fonction explicite associée à l'équation.
l'équation x + y + ln z = 0 permet de définir la fonction implicite φ : (x,y) → exp(-x - y).
L'équation définit comme fonction implicite de . On ne sait pas exprimer cette fonction explicitement à l'aide de fonctions élémentaires. Par contre, on peut exprimer en fonction de : on a .
si f est une bijection de E vers F, l'équation y = f(x) induit une fonction implicite de F vers E appelée application réciproque et notée f .
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