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Concept

Ligne de niveau

Résumé

Soit f une fonction à valeurs réelles, une ligne de niveau est un ensemble : { (x1,...,xn) | f(x1,...,xn) = c } ; c étant une constante. C'est en fait le sous-ensemble de l'ensemble de définition sur lequel f prend une valeur donnée. Lien avec le gradient Théorème : le gradient de f est perpendiculaire en tout point à la ligne de niveau de f en ce point. Il s'agit d'un résultat important. Pour mieux le comprendre, imaginons que deux randonneurs sont à la même position sur une montagne. Le premier est téméraire et décide de prendre la direction de la plus forte pente pour accéder au sommet. Le second étant plus prudent, et ne désirant pas dégringoler, il décide de suivre le chemin qui lui permettra de garder la même altitude pour observer le panorama. Avec cette analogie, le théorème ci-dessus nous informe qu'au départ, les deux randonneurs suivront des chemins perpendiculaires. Preuve : soit x0 un point. La ligne de niveau passant par x0 est {x | f(x) = f(x0)}. Consi

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Ligne_de_niveau

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MATHICSE Technical Report : A reduced basis approach to large-scale pseudospectra computation

Petar Sirkovic

For studying spectral properties of a non-normal matrix A ∈ Cn×n, information about its spectrum σ(A) alone is usually not enough. Effects of perturbations on σ(A) can be studied by computing ε-pseudospectra, that is the level-sets of the resolvent norm function g(z) = ‖(zI − A)−1‖2. The computation of ε-pseudospectra requires determining the smallest singular values σmin(zI − A) on for all z on a portion of the complex plane. In this work, we propose a reduced basis approach to pseudospectra computation that provides highly accurate estimates of pseudospectra in the region of interest. It incorporates the sampled singular vectors of zI − A for different values of z and implicitly exploits their smoothness properties. It provides rigorous upper and lower bounds for the pseudospectra in the region of interest. We also present a comparison of our approach to several existing approaches on a number of numerical examples, showing that our approach provides significant improvement in terms of computational time.

MATHICSE2016

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A reduced basis approach to large-scale pseudospectra computation

Petar Sirkovic

For studying spectral properties of a nonnormal matrix A is an element of Cnxn, information about its spectrum sigma(A) alone is usually not enough. Effects of perturbations on sigma(A) can be studied by computing epsilon-pseudospectra, i.e. the level sets of the resolvent norm function g(z)=||(zI-A)-1||2. The computation of epsilon-pseudospectra requires determining the smallest singular values sigma min(zI-A) for all z on a portion of the complex plane. In this work, we propose a reduced basis approach to pseudospectra computation, which provides highly accurate estimates of pseudospectra in the region of interest, in particular, for pseudospectra estimates in isolated parts of the spectrum containing few eigenvalues of A. It incorporates the sampled singular vectors of zI - A for different values of z, and implicitly exploits their smoothness properties. It provides rigorous upper and lower bounds for the pseudospectra in the region of interest. In addition, we propose a domain splitting technique for tackling numerically more challenging examples. We present a comparison of our algorithms to several existing approaches on a number of numerical examples, showing that our approach provides significant improvement in terms of computational time.

WILEY2019

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A Covariance Formula For Topological Events Of Smooth Gaussian Fields

Alejandro Rivera

We derive a covariance formula for the class of 'topological events' of smooth Gaussian fields on manifolds; these are events that depend only on the topology of the level sets of the field, for example, (i) crossing events for level or excursion sets, (ii) events measurable with respect to the number of connected components of level or excursion sets of a given diffeomorphism class and (iii) persistence events. As an application of the covariance formula, we derive strong mixing bounds for topological events, as well as lower concentration inequalities for additive topological functionals (e.g., the number of connected components) of the level sets that satisfy a law of large numbers. The covariance formula also gives an alternate justification of the Harris criterion, which conjecturally describes the boundary of the percolation university class for level sets of stationary Gaussian fields. Our work is inspired by (Ann. Inst. Henri Poincare Probab. Stat. 55 (2019) 1679-1711), in which a correlation inequality was derived for certain topological events on the plane, as well as by (Asymptotic Methods in the Theory of Gaussian Processes and Fields (1996) Amer. Math. Soc.), in which a similar covariance formula was established for finite-dimensional Gaussian vectors.

INST MATHEMATICAL STATISTICS2020

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