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Concept
Courbe algébrique
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, une courbe algébrique est une variété algébrique (ou un schéma de type fini) sur un corps, dont les composantes irréductibles sont de dimension 1. Cette définition est la généralisation moderne de celle des courbes algébriques classiques, telles que les coniques, définies, dans le cas des courbes planes, comme l'ensemble des points solutions d'une équation polynomiale.
Sous sa forme la plus générale, une courbe algébrique sur un corps est une variété algébrique de dimension 1 sur , séparée pour éviter des pathologies. En considérant les composantes irréductibles munies de la structure réduite, on se ramène aux courbes intègres. Par compactification et normalisation, on se ramène aux courbes projectives régulières, ce qui est la situation le plus couramment abordée. En dehors des variétés algébriques de dimension 0 qui se réduisent aux algèbres finies sur un corps, les courbes sont les premières variétés algébriques non triviales.
On appelle courbe rationnelle, ou encore courbe unicursale, toute courbe birationnellement équivalente à une droite (projective), que l'on peut identifier au corps des fractions rationnelles à une indéterminée, k(x). Si k est algébriquement clos, c'est équivalent à être une courbe de genre zéro ; cependant, le corps
R(x,y) avec est une courbe de genre zéro qui n'est pas un corps de fonctions rationnelles.
Concrètement, une courbe rationnelle de dimension n sur k peut être paramétrée (sauf pour des points isolés exceptionnels) au moyen de n fonctions rationnelles définies à l'aide d'un unique paramètre t ; multipliant par les dénominateurs communs, on se ramène à
n+1 fonctions polynomiales dans un espace projectif.
Les premiers exemples sont :
la droite affine dont les points rationnels correspondent à l'ensemble . C'est une courbe algébrique affine ;
la droite projective dont les points rationnels correspondent à la droite projective ordinaire , c'est-à-dire l'ensemble des droites de l'espace vectoriel . C'est la courbe projective la plus simple.
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