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Concept
Variété projective
Résumé
En géométrie algébrique, les variétés projectives forment une classe importante de variétés. Elles vérifient des propriétés de compacité et des propriétés de finitude. C'est l'objet central de la géométrie algébrique globale.
Sur un corps algébriquement clos, les points d'une variété projective sont les points d'un ensemble algébrique projectif.
On fixe un corps (commutatif) k.
Algèbre homogène. Soit B le quotient de par un idéal homogène ( idéal engendré par des polynômes homogènes). C'est alors une algèbre graduée
où est l'ensemble des classes modulo I des polynômes homogènes de degrés . Les éléments de sont appelés des éléments homogènes de degré . Un idéal homogène de B est un idéal engendré par des éléments homogènes. Un idéal homogène particulier est ensemble des éléments homogènes de degré strictement positif. C'est l'idéal maximal engendré par les classes des .
Espace topologique. Par définition, l'ensemble est constitué des idéaux premiers homogènes de B ne contenant pas (donc strictement contenus dans ) et maximaux pour cette propriété. Pour tout idéal homogène I, on note l'ensemble des idéaux premiers dans contenant I. Lorsque l'on fait varier les I, les parties de constituent les parties fermées de la topologie de Zariski sur .
Une base de topologie. Si f est un élément homogène, on note le complémentaire de . C'est un ouvert principal. Les ouverts principaux constituent une base de topologie. De plus, l'espace topologique est homéomorphe au spectre maximal , où est l'ensemble des éléments de la localisation qui peuvent être représentés par une fraction avec b homogène de degré . L'algèbre est de type fini sur k.
Proposition. Il existe une unique structure de variété algébrique sur telle que pour tout f homogène, la sous-variété ouverte soit isomorphe à la variété affine .
Définition. Une variété projective sur k est une variété algébrique sur k isomorphe à pour une k-algèbre homogène B.
Une variété quasi-projective est une sous-variété ouverte d'une variété projective.
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