En géométrie algébrique, les variétés projectives forment une classe importante de variétés. Elles vérifient des propriétés de compacité et des propriétés de finitude. C'est l'objet central de la géométrie algébrique globale.
Sur un corps algébriquement clos, les points d'une variété projective sont les points d'un ensemble algébrique projectif.
On fixe un corps (commutatif) k.
Algèbre homogène. Soit B le quotient de par un idéal homogène ( idéal engendré par des polynômes homogènes). C'est alors une algèbre graduée
où est l'ensemble des classes modulo I des polynômes homogènes de degrés . Les éléments de sont appelés des éléments homogènes de degré . Un idéal homogène de B est un idéal engendré par des éléments homogènes. Un idéal homogène particulier est ensemble des éléments homogènes de degré strictement positif. C'est l'idéal maximal engendré par les classes des .
Espace topologique. Par définition, l'ensemble est constitué des idéaux premiers homogènes de B ne contenant pas (donc strictement contenus dans ) et maximaux pour cette propriété. Pour tout idéal homogène I, on note l'ensemble des idéaux premiers dans contenant I. Lorsque l'on fait varier les I, les parties de constituent les parties fermées de la topologie de Zariski sur .
Une base de topologie. Si f est un élément homogène, on note le complémentaire de . C'est un ouvert principal. Les ouverts principaux constituent une base de topologie. De plus, l'espace topologique est homéomorphe au spectre maximal , où est l'ensemble des éléments de la localisation qui peuvent être représentés par une fraction avec b homogène de degré . L'algèbre est de type fini sur k.
Proposition. Il existe une unique structure de variété algébrique sur telle que pour tout f homogène, la sous-variété ouverte soit isomorphe à la variété affine .
Définition. Une variété projective sur k est une variété algébrique sur k isomorphe à pour une k-algèbre homogène B.
Une variété quasi-projective est une sous-variété ouverte d'une variété projective.
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Explore les automorphismes des variétés projectives, discutant de l'isomorphisme entre les compléments et les observations clés sur les dimensions et les exemples.
Algebraic geometry is the common language for many branches of modern research in mathematics. This course gives an introduction to this field by studying algebraic curves and their intersection theor
This course is an introduction to the theory of Riemann surfaces. Riemann surfaces naturally appear is mathematics in many different ways: as a result of analytic continuation, as quotients of complex
The aim of this course is to learn the basics of the modern scheme theoretic language of algebraic geometry.
En géométrie algébrique, les variétés projectives forment une classe importante de variétés. Elles vérifient des propriétés de compacité et des propriétés de finitude. C'est l'objet central de la géométrie algébrique globale. Sur un corps algébriquement clos, les points d'une variété projective sont les points d'un ensemble algébrique projectif. On fixe un corps (commutatif) k. Algèbre homogène. Soit B le quotient de par un idéal homogène ( idéal engendré par des polynômes homogènes).
En mathématiques, et en particulier, en géométrie algébrique et géométrie complexe, une variété abélienne A est une variété algébrique projective qui est un groupe algébrique. La condition de est l'équivalent de la compacité pour les variétés différentielles ou analytiques, et donne une certaine rigidité à la structure. C'est un objet central en géométrie arithmétique. Une variété abélienne sur un corps k est un groupe algébrique A sur k, dont la variété algébrique sous-jacente est projective, connexe et géométriquement réduite.
Le théorème de Bézout, attribué à Étienne Bézout, affirme que deux courbes algébriques projectives planes de degrés m et n, définies sur un corps algébriquement clos et sans composante irréductible commune, ont exactement mn points d'intersection, comptés avec leur multiplicité. La forme faible du théorème dit que le nombre d'intersections (sans tenir compte des multiplicités) est majoré par . Autrement dit, si sont deux polynômes homogènes à coefficients dans (avec et ) de degrés respectifs et sans facteur commun, alors le système admet au plus solutions dans le plan projectif .
In the present thesis we study the geometry of the moduli spaces of Bradlow-Higgs triples on a smooth projective curve C. There is a family of stability conditions for triples that depends on a positi
We prove the existence of an affine paving for the three-step flag Hilbert scheme that parametrizes flag of three 0-dimensional subschemes of length, respectively, n, n+1 and n+2 that are supported at
The topic of this thesis is vanishing theorems in positive characteristic. In particular, we use "the covering trick of Ekedahl" to investigate the vanishing of H1(X,OX(−D)) for a big a