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Concept
Théorème de Bézout
Résumé
Le théorème de Bézout, attribué à Étienne Bézout, affirme que deux courbes algébriques projectives planes de degrés m et n, définies sur un corps algébriquement clos et sans composante irréductible commune, ont exactement mn points d'intersection, comptés avec leur multiplicité.
La forme faible du théorème dit que le nombre d'intersections (sans tenir compte des multiplicités) est majoré par . Autrement dit, si sont deux polynômes homogènes à coefficients dans (avec et ) de degrés respectifs et sans facteur commun, alors le système
admet au plus solutions dans le plan projectif .
Dans la géométrie de Descartes, le calcul de la tangente d'une courbe ou, ce qui revient au même, de la droite normale en un point, se fait par la recherche du cercle osculateur en ce point. La méthode décrite par Descartes consiste à écrire l'équation des cercles passant par le point de la courbe et à chercher celui des cercles qui n'a qu'un point d'intersection unique avec la courbe.
Dès le début du , la recherche du nombre de points d'intersection de deux courbes planes d'équations cartésiennes implicites , où P, Q sont deux polynômes de degré respectifs m, n se fait par la méthode d'élimination d'une des deux variables.
Dès 1720, Maclaurin conjecture qu’. Léonard Euler examine la question sur quelques cas particuliers mais ne parvient pas à faire rentrer le cas des racines multiples dans une démonstration générale. Étienne Bézout est le premier à démontrer (1764) l'énoncé dans le cas où il n'y a que des racines simples.
Soient deux polynômes dans , non-constants et sans facteur irréductible commun. Alors l'ensemble de leurs zéros communs dans est fini. Fixons un zéro commun , et considérons l'anneau local , constitué des fractions rationnelles dont le dénominateur ne s'annule pas en P, et son quotient par l'idéal engendré par . Ce dernier est un -espace vectoriel de dimension finie, sa dimension est appelée la multiplicité d'intersection des courbes en .
Exemple : Si sont non-singulières, alors leur multiplicité d'intersection en (a, b) est 1 si et seulement si leurs tangentes en sont distinctes.
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